Решение предела (6n-7)/(6n+4) в степени (3n+2)

Для решения этого предела воспользуемся вторым замечательным пределом в виде \( \lim_{u \to \infty} (1 + \frac{1}{u})^u = e \). \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{6n - 7}{6n + 4} \right)^{3n + 2} = [1^\infty] \] Выделим целую часть в скобках, прибавив и вычтя 4 в числителе: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{6n + 4 - 4 - 7}{6n + 4} \right)^{3n + 2} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{6n + 4}{6n + 4} + \frac{-11}{6n + 4} \right)^{3n + 2} = \] \[ = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{-11}{6n + 4} \right)^{3n + 2} = \] Чтобы воспользоваться формулой второго замечательного предела, нам нужно в показателе степени иметь выражение, обратное дроби в скобках. Домножим и разделим показатель на это выражение: \[ = \lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{-11}{6n + 4} \right)^{\frac{6n + 4}{-11}} \right]^{\frac{-11}{6n + 4} \cdot (3n + 2)} = \] Выражение внутри квадратных скобок стремится к числу \( e \). Теперь найдем предел показателя степени: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{-11(3n + 2)}{6n + 4} = \lim_{n \to \infty} \frac{-33n - 22}{6n + 4} = \] Разделим числитель и знаменатель на \( n \): \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{-33 - \frac{22}{n}}{6 + \frac{4}{n}} = \frac{-33}{6} = -5,5 \] Таким образом, искомый предел равен: \[ = e^{-5,5} \] Ответ: \( e^{-5,5} \) (или \( \frac{1}{e^{5,5}} \))