Решение предела (1 + 3e^-x)^(4e^x - 5) при x -> +∞

Для решения этого предела воспользуемся вторым замечательным пределом в виде \( \lim_{u \to 0} (1 + u)^{\frac{1}{u}} = e \). При \( x \to +\infty \) выражение \( e^{-x} \to 0 \), поэтому мы имеем неопределенность вида \( [1^\infty] \). \[ \lim_{x \to +\infty} (1 + 3e^{-x})^{4e^x - 5} = [1^\infty] \] Чтобы свести выражение к замечательному пределу, искусственно создадим в показателе степени дробь, обратную бесконечно малой величине \( 3e^{-x} \): \[ = \lim_{x \to +\infty} \left[ (1 + 3e^{-x})^{\frac{1}{3e^{-x}}} \right]^{3e^{-x} \cdot (4e^x - 5)} = \] Выражение в квадратных скобках по определению второго замечательного предела стремится к \( e \). Теперь вычислим предел показателя степени: \[ \lim_{x \to +\infty} 3e^{-x} \cdot (4e^x - 5) = \lim_{x \to +\infty} (3e^{-x} \cdot 4e^x - 3e^{-x} \cdot 5) = \] Так как \( e^{-x} \cdot e^x = e^0 = 1 \), получаем: \[ = \lim_{x \to +\infty} (12 - 15e^{-x}) = \] Поскольку при \( x \to +\infty \) величина \( e^{-x} \to 0 \), то: \[ = 12 - 15 \cdot 0 = 12 \] Следовательно, искомый предел равен: \[ = e^{12} \] Ответ: \( e^{12} \)