Решение задачи 5: Логарифмические уравнения

Решение номера 5. а) \(\log_3(x + 1) + \log_3(x + 3) = 1\) 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): \[ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1 \\ x > -3 \end{cases} \Rightarrow x > -1 \] 2. Используем свойство суммы логарифмов: \[ \log_3((x + 1)(x + 3)) = 1 \] \[ (x + 1)(x + 3) = 3^1 \] \[ x^2 + 3x + x + 3 = 3 \] \[ x^2 + 4x = 0 \] \[ x(x + 4) = 0 \] \[ x_1 = 0, \quad x_2 = -4 \] 3. Проверка по ОДЗ: \(x = 0\) подходит (\(0 > -1\)). \(x = -4\) не подходит (\(-4 < -1\)). Ответ: \(0\). б) \(\lg(3x^2 + 12x + 19) - \lg(3x + 4) = 1\) 1. ОДЗ: \[ \begin{cases} 3x^2 + 12x + 19 > 0 \quad (\text{D < 0, всегда верно}) \\ 3x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4/3 \end{cases} \] 2. Используем свойство разности логарифмов: \[ \lg\left(\frac{3x^2 + 12x + 19}{3x + 4}\right) = 1 \] \[ \frac{3x^2 + 12x + 19}{3x + 4} = 10 \] \[ 3x^2 + 12x + 19 = 10(3x + 4) \] \[ 3x^2 + 12x + 19 = 30x + 40 \] \[ 3x^2 - 18x - 21 = 0 \] Разделим на 3: \[ x^2 - 6x - 7 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = 7, \quad x_2 = -1 \] 3. Проверка по ОДЗ: Оба корня больше \(-1.33\). Ответ: \(-1; 7\). в) \(\lg(x - 9) + \lg(2x - 1) = 2\) 1. ОДЗ: \[ \begin{cases} x - 9 > 0 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 9 \\ x > 0.5 \end{cases} \Rightarrow x > 9 \] 2. Решаем уравнение: \[ \lg((x - 9)(2x - 1)) = 2 \] \[ (x - 9)(2x - 1) = 10^2 \] \[ 2x^2 - x - 18x + 9 = 100 \] \[ 2x^2 - 19x - 91 = 0 \] \[ D = (-19)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-91) = 361 + 728 = 1089 = 33^2 \] \[ x_1 = \frac{19 + 33}{4} = \frac{52}{4} = 13 \] \[ x_2 = \frac{19 - 33}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5 \] 3. Проверка по ОДЗ: \(x = 13\) подходит. \(x = -3.5\) не подходит. Ответ: \(13\). г) \(\log_2(x^2 - x - 3) - \log_2(x + 1) = 3\) 1. ОДЗ: \[ \begin{cases} x^2 - x - 3 > 0 \\ x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 \end{cases} \] 2. Решаем уравнение: \[ \log_2\left(\frac{x^2 - x - 3}{x + 1}\right) = 3 \] \[ \frac{x^2 - x - 3}{x + 1} = 2^3 \] \[ x^2 - x - 3 = 8(x + 1) \] \[ x^2 - x - 3 = 8x + 8 \] \[ x^2 - 9x - 11 = 0 \] \[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 81 + 44 = 125 \] \[ x_1 = \frac{9 + 5\sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{9 - 5\sqrt{5}}{2} \] 3. Проверка по ОДЗ: \(x_1 \approx 10.09\) — подходит. \(x_2 \approx -1.09\) — не подходит, так как \(x\) должен быть больше \(-1\). Ответ: \(\frac{9 + 5\sqrt{5}}{2}\).