Где ошибка в решении логарифмического уравнения? Задача №5

В твоем решении допущена серьезная ошибка в использовании свойств логарифмов. Давай разберем, где именно. Ошибка находится в этой строке: \[ \log_3(x+1) + \log_3(x+3) = \log_3 x \cdot \log_3 1 + \log_3 x \cdot \log_3 3 \] Почему это неверно: 1. Логарифм суммы не равен сумме логарифмов или их произведению. То есть \(\log_a(b + c)\) нельзя "раскрыть как скобки". Не существует правила, которое позволяло бы превратить \(\log_3(x + 1)\) в \(\log_3 x + \log_3 1\) или в их произведение. 2. Основное свойство, которое нужно использовать здесь — это логарифм произведения: \[ \log_a f(x) + \log_a g(x) = \log_a (f(x) \cdot g(x)) \] Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения их аргументов. Как нужно было решать правильно: 1. ОДЗ (у тебя определено верно): \[ x > -1 \] 2. Применяем свойство суммы: \[ \log_3((x + 1)(x + 3)) = 1 \] 3. По определению логарифма (\( \log_a b = c \Rightarrow a^c = b \)): \[ (x + 1)(x + 3) = 3^1 \] 4. Раскрываем скобки и решаем квадратное уравнение: \[ x^2 + 3x + x + 3 = 3 \] \[ x^2 + 4x = 0 \] \[ x(x + 4) = 0 \] \[ x_1 = 0, \quad x_2 = -4 \] 5. Сверяем с ОДЗ: Корень \(x = -4\) не подходит, так как \(-4 < -1\). Корень \(x = 0\) подходит. Правильный ответ: \(0\). Твой ответ \(3\) получился случайно из-за неверных преобразований. Если подставить \(x = 3\) в исходное уравнение, получится \(\log_3 4 + \log_3 6\), что явно не равно \(1\).