Решение: Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5

Дано: Треугольник \( \triangle ABC \) — прямоугольный (угол \( \angle C = 90^\circ \)). Катет \( BC = 3 \). Гипотенуза \( AB = 5 \). Найти: 1. Катет \( AC \). 2. Синус, косинус и тангенс острого угла \( A \). Решение: 1. Найдем катет \( AC \) по теореме Пифагора: \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \] \[ AC^2 + 3^2 = 5^2 \] \[ AC^2 + 9 = 25 \] \[ AC^2 = 25 - 9 \] \[ AC^2 = 16 \] \[ AC = \sqrt{16} = 4 \] Данный треугольник является классическим «египетским треугольником» со сторонами 3, 4, 5. 2. Определим тригонометрические функции для угла \( A \): \[ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5} = 0,6 \] \[ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5} = 0,8 \] \[ \text{tg } A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4} = 0,75 \] Относительно подобия: Любой треугольник с углами \( 90^\circ \), \( \arcsin(0,6) \) и \( \arcsin(0,8) \) будет подобен данному по первому признаку подобия треугольников (по двум углам). Также все треугольники, стороны которых пропорциональны числам 3, 4 и 5 (например, со сторонами 6, 8, 10 или 9, 12, 15), будут подобны данному треугольнику \( \triangle ABC \). Ответ: \( AC = 4 \); \( \sin A = 0,6 \); \( \cos A = 0,8 \).