Решение задачи: треугольник, подобие без косинусов

Дано: Треугольник \( \triangle MKL \) — прямоугольный (\( \angle K = 90^\circ \)). Катет \( MK = 12 \). Гипотенуза \( ML = 15 \). Найти: 1. Катет \( KL \). 2. Доказать подобие треугольнику \( \triangle ABC \) (из предыдущей задачи). Решение: 1. Найдем катет \( KL \) по теореме Пифагора: \[ MK^2 + KL^2 = ML^2 \] \[ 12^2 + KL^2 = 15^2 \] \[ 144 + KL^2 = 225 \] \[ KL^2 = 225 - 144 \] \[ KL^2 = 81 \] \[ KL = \sqrt{81} = 9 \] 2. Проверим подобие треугольников \( \triangle MKL \) и \( \triangle ABC \) (где стороны были 3, 4 и 5). Для этого найдем отношение соответствующих сторон: \[ \frac{ML}{AB} = \frac{15}{5} = 3 \] \[ \frac{MK}{AC} = \frac{12}{4} = 3 \] \[ \frac{KL}{BC} = \frac{9}{3} = 3 \] Так как отношения всех соответствующих сторон равны (\( k = 3 \)), то треугольники подобны по третьему признаку подобия (по трем пропорциональным сторонам). Запись для тетради: \[ \triangle MKL \sim \triangle ABC \] по трем сторонам, так как: \[ \frac{15}{5} = \frac{12}{4} = \frac{9}{3} = 3 \] Ответ: \( KL = 9 \); треугольники подобны с коэффициентом \( k = 3 \).