Решение уравнений (x+9)^3 = 81(x+9) и x^4 = (x-2)^2

Решение уравнений. Уравнение 1: \[ (x+9)^3 = 81 \cdot (x+9) \] Перенесем все слагаемые в левую часть: \[ (x+9)^3 - 81 \cdot (x+9) = 0 \] Вынесем общий множитель \( (x+9) \) за скобки: \[ (x+9) \cdot ((x+9)^2 - 81) = 0 \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) \( x + 9 = 0 \Rightarrow x_1 = -9 \) 2) \( (x+9)^2 - 81 = 0 \) \[ (x+9)^2 = 81 \] Извлечем корень: \( x + 9 = 9 \Rightarrow x_2 = 0 \) \( x + 9 = -9 \Rightarrow x_3 = -18 \) Ответ: \( -18; -9; 0 \). Уравнение 2: \[ x^4 = (x-2)^2 \] Перенесем все в одну часть: \[ x^4 - (x-2)^2 = 0 \] Воспользуемся формулой разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), где \( a = x^2 \), а \( b = x-2 \): \[ (x^2 - (x-2)) \cdot (x^2 + (x-2)) = 0 \] \[ (x^2 - x + 2) \cdot (x^2 + x - 2) = 0 \] Рассмотрим первую скобку: \[ x^2 - x + 2 = 0 \] Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 \). Так как \( D < 0 \), действительных корней нет. Рассмотрим вторую скобку: \[ x^2 + x - 2 = 0 \] Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся теоремой Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = -1 \\ x_1 \cdot x_2 = -2 \end{cases} \] Подбором находим корни: \( x_1 = -2 \) \( x_2 = 1 \) Ответ: \( -2; 1 \).