Решение уравнения y'' + 3y' + 2y = 0 в Matlab

Для решения дифференциального уравнения, представленного на фотографии, в среде MATLAB (или Simulink), необходимо сначала найти его аналитическое решение или составить структурную схему. На доске записано однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: \[ y'' + 3y' + 2y = 0 \] Ниже приведено решение, которое можно переписать в тетрадь. 1. Аналитическое решение (математический метод) Составим характеристическое уравнение, заменив производные на \( k \): \[ k^2 + 3k + 2 = 0 \] Найдем корни через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \] \[ k_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2} = -1 \] \[ k_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2} = -2 \] Так как корни действительные и различные, общее решение имеет вид: \[ y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} \] 2. Решение в MATLAB (код для командного окна) Для получения решения в MATLAB используется пакет символьных вычислений Symbolic Math Toolbox. Код выглядит так: syms y(t) ode = diff(y, t, 2) + 3*diff(y, t) + 2*y == 0; ySol(t) = dsolve(ode) Результат выполнения программы: \[ y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} \] 3. Реализация в Simulink (используя блоки с вашего второго фото) Чтобы смоделировать это уравнение в Simulink, его нужно выразить относительно старшей производной: \[ y'' = -3y' - 2y \] Для сборки схемы вам понадобятся следующие блоки из библиотеки "Commonly Used Blocks": - Integrator (2 штуки): первый превращает \( y'' \) в \( y' \), второй — \( y' \) в \( y \). - Sum (1 штука): для суммирования сигналов \( -3y' \) и \( -2y \). - Gain (2 штуки): для задания коэффициентов 3 и 2. - Scope (1 штука): для просмотра графика решения. Порядок соединения: Выход сумматора подается на вход первого интегратора. Выход первого интегратора (\( y' \)) идет на второй интегратор и через Gain (со значением 3) обратно в сумматор. Выход второго интегратора (\( y \)) идет в Scope и через Gain (со значением 2) обратно в сумматор. В сумматоре для входов нужно установить знаки "минус".