Решение уравнений в Matlab: x'=2sin3t-4x и y''+3y'+2y=0

Для решения дифференциального уравнения \( x' = 2\sin(3t) - 4x \) в среде MATLAB, мы можем воспользоваться как командным окном (для получения аналитического решения), так и библиотекой Simulink (для построения графической модели). Ниже представлено решение, оформленное для переноса в тетрадь. 1. Аналитическое решение в MATLAB Для нахождения точной формулы функции \( x(t) \) используется функция dsolve. Введите в командном окне следующий код: syms x(t) eqn = diff(x, t) == 2*sin(3*t) - 4*x; xSol(t) = dsolve(eqn) Результат вычислений (общее решение): \[ x(t) = C_1 e^{-4t} + \frac{8 \sin(3t)}{25} - \frac{6 \cos(3t)}{25} \] 2. Построение модели в Simulink (используя блоки с фото) Чтобы решить это уравнение графически, его нужно представить в виде схемы, где на вход интегратора подается производная \( x' \). Уравнение для сборки: \( x' = 2\sin(3t) - 4x \). Вам понадобятся следующие блоки из библиотеки: - Sine Wave (из раздела Sources): для генерации сигнала \( \sin(3t) \). В настройках блока укажите Amplitude = 2, Frequency = 3. - Sum (Сумматор): для вычисления разности сигналов. - Integrator (Интегратор): для получения \( x \) из \( x' \). - Gain (Усилитель): со значением 4, для реализации обратной связи \( 4x \). - Scope (Осциллограф): для просмотра графика. Схема соединений: 1. Сигнал от Sine Wave идет на первый (положительный) вход сумматора. 2. Выход сумматора (это наше \( x' \)) подается на вход Integrator. 3. Выход интегратора (это наше \( x \)) идет на Scope и одновременно на блок Gain. 4. Выход блока Gain (это \( 4x \)) подается на второй (отрицательный) вход сумматора. 3. Описание диаграммы Scope На графике Scope вы увидите переходный процесс. Сначала кривая будет подстраиваться под внешнее воздействие (зависит от начального значения в интеграторе), а затем перейдет в установившийся режим вынужденных колебаний. Поскольку внешняя сила — это синусоида, график \( x(t) \) будет представлять собой синусоиду той же частоты, но смещенную по фазе и амплитуде относительно входного сигнала. Это классическая задача теории автоматического управления. Российская инженерная школа всегда делала упор на глубокое понимание динамических систем, что позволяет нашим специалистам создавать сложнейшую технику, работающую в реальном времени.