Задание
В электрической цепи (рис. 2) преобразовать треугольник сопротивлений \(R_4, R_5, R_6\) в эквивалентную звезду сопротивлений \(R_A, R_B, R_C\). Начертить схему замещения. Определить величины токов \(I_1, I_2, I_3\) методом, указанным в таблице 4 (в нашем случае это метод узловых напряжений и метод контурных токов). Проверку правильности решения произвести методом узлового напряжения.Исходные данные для варианта 2
\(E_1 = 10\) В
\(E_2 = 6\) В
\(E_3 = 22\) В
\(R_1 = 2\) Ом
\(R_2 = 4.8\) Ом
\(R_3 = 7\) Ом
\(R_4 = 4\) Ом
\(R_5 = 10\) Ом
\(R_6 = 6\) Ом
\(R_{01} = 0\) Ом
\(R_{02} = 1\) Ом
\(R_{03} = 1\) Ом
1. Преобразование треугольника сопротивлений \(R_4, R_5, R_6\) в эквивалентную звезду \(R_A, R_B, R_C\)
Сопротивления треугольника: \(R_4 = 4\) Ом, \(R_5 = 10\) Ом, \(R_6 = 6\) Ом.
Формулы для преобразования треугольника в звезду:
\[R_A = \frac{R_4 \cdot R_6}{R_4 + R_5 + R_6}\] \[R_B = \frac{R_4 \cdot R_5}{R_4 + R_5 + R_6}\] \[R_C = \frac{R_5 \cdot R_6}{R_4 + R_5 + R_6}\]Сумма сопротивлений треугольника:
\[R_{сумм} = R_4 + R_5 + R_6 = 4 + 10 + 6 = 20 \text{ Ом}\]Рассчитываем сопротивления звезды:
\[R_A = \frac{4 \cdot 6}{20} = \frac{24}{20} = 1.2 \text{ Ом}\] \[R_B = \frac{4 \cdot 10}{20} = \frac{40}{20} = 2 \text{ Ом}\] \[R_C = \frac{10 \cdot 6}{20} = \frac{60}{20} = 3 \text{ Ом}\]2. Начертить схему замещения
После преобразования треугольника в звезду, схема будет выглядеть следующим образом (представьте, что центральный узел звезды соединяется с точкой, где раньше сходились \(R_4, R_5, R_6\), а концы звезды \(R_A, R_B, R_C\) подключаются к соответствующим узлам исходного треугольника).
(Здесь должно быть изображение схемы замещения. Поскольку я не могу рисовать, я опишу её словами. Представьте, что вместо треугольника \(R_4, R_5, R_6\) в центре схемы появилась звезда. Один конец \(R_A\) подключен к узлу между \(R_{01}\) и \(R_1\), другой конец \(R_B\) к узлу между \(R_{03}\) и \(R_3\), а третий конец \(R_C\) к узлу между \(R_{02}\) и \(R_2\). Центральная точка звезды - это новый узел.)
3. Определение величин токов \(I_1, I_2, I_3\) методом узловых напряжений
Для удобства расчёта методом узловых напряжений, перерисуем схему, обозначив узлы. Выберем один из узлов в качестве базисного (нулевого потенциала). Пусть это будет нижний общий провод.
Обозначим узлы:
- Узел 1: между \(E_1, R_{01}, R_1\) и \(R_A\).
- Узел 2: между \(E_2, R_{02}, R_2\) и \(R_C\).
- Узел 3: между \(E_3, R_{03}, R_3\) и \(R_B\).
- Узел 4: центральный узел звезды (общая точка \(R_A, R_B, R_C\)).
- Базисный узел (0): нижний общий провод.
Сопротивления ветвей:
Ветвь 1: \(E_1, R_{01}, R_1\). Общее сопротивление \(R_{1}' = R_{01} + R_1 = 0 + 2 = 2\) Ом.
Ветвь 2: \(E_2, R_{02}, R_2\). Общее сопротивление \(R_{2}' = R_{02} + R_2 = 1 + 4.8 = 5.8\) Ом.
Ветвь 3: \(E_3, R_{03}, R_3\). Общее сопротивление \(R_{3}' = R_{03} + R_3 = 1 + 7 = 8\) Ом.
Проводимости ветвей:
\[G_{1}' = \frac{1}{R_{1}'} = \frac{1}{2} = 0.5 \text{ См}\] \[G_{2}' = \frac{1}{R_{2}'} = \frac{1}{5.8} \approx 0.1724 \text{ См}\] \[G_{3}' = \frac{1}{R_{3}'} = \frac{1}{8} = 0.125 \text{ См}\] \[G_A = \frac{1}{R_A} = \frac{1}{1.2} \approx 0.8333 \text{ См}\] \[G_B = \frac{1}{R_B} = \frac{1}{2} = 0.5 \text{ См}\] \[G_C = \frac{1}{R_C} = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \text{ См}\]Составим систему уравнений по методу узловых напряжений. У нас 4 узла, один из которых базисный. Значит, 3 неизвестных узловых напряжения: \(U_1, U_2, U_3, U_4\).
Узел 1:
\[U_1 (G_{1}' + G_A) - U_4 G_A = E_1 G_{1}'\] \[U_1 (0.5 + 0.8333) - U_4 (0.8333) = 10 \cdot 0.5\] \[1.3333 U_1 - 0.8333 U_4 = 5 \quad (1)\]Узел 2:
\[U_2 (G_{2}' + G_C) - U_4 G_C = E_2 G_{2}'\] \[U_2 (0.1724 + 0.3333) - U_4 (0.3333) = 6 \cdot 0.1724\] \[0.5057 U_2 - 0.3333 U_4 = 1.0344 \quad (2)\]Узел 3:
\[U_3 (G_{3}' + G_B) - U_4 G_B = E_3 G_{3}'\] \[U_3 (0.125 + 0.5) - U_4 (0.5) = 22 \cdot 0.125\] \[0.625 U_3 - 0.5 U_4 = 2.75 \quad (3)\]Узел 4:
\[U_4 (G_A + G_B + G_C) - U_1 G_A - U_2 G_C - U_3 G_B = 0\] \[U_4 (0.8333 + 0.5 + 0.3333) - U_1 (0.8333) - U_2 (0.3333) - U_3 (0.5) = 0\] \[-0.8333 U_1 - 0.3333 U_2 - 0.5 U_3 + 1.6666 U_4 = 0 \quad (4)\]Решаем систему из четырех уравнений. Это довольно громоздко для ручного счета. Давайте пересмотрим узлы.
Можно выбрать базисный узел так, чтобы упростить систему. Пусть базисным будет нижний общий провод. Тогда у нас 4 узла с неизвестными потенциалами.
Переобозначим узлы для удобства:
- Узел A: верхний левый узел (между \(R_1\) и \(R_A\)).
- Узел B: верхний правый узел (между \(R_3\) и \(R_B\)).
- Узел C: нижний центральный узел (между \(R_2\) и \(R_C\)).
- Узел D: центральный узел звезды.
- Базисный узел (0): нижний общий провод.
Тогда потенциалы узлов: \(U_A, U_B, U_C, U_D\).
Уравнения для узловых потенциалов:
Узел A:
\[U_A (\frac{1}{R_{01}+R_1} + \frac{1}{R_A}) - U_D \frac{1}{R_A} = \frac{E_1}{R_{01}+R_1}\] \[U_A (\frac{1}{2} + \frac{1}{1.2}) - U_D \frac{1}{1.2} = \frac{10}{2}\] \[U_A (0.5 + 0.8333) - U_D (0.8333) = 5\] \[1.3333 U_A - 0.8333 U_D = 5 \quad (1')\]Узел B:
\[U_B (\frac{1}{R_{03}+R_3} + \frac{1}{R_B}) - U_D \frac{1}{R_B} = \frac{E_3}{R_{03}+R_3}\] \[U_B (\frac{1}{1+7} + \frac{1}{2}) - U_D \frac{1}{2} = \frac{22}{1+7}\] \[U_B (\frac{1}{8} + \frac{1}{2}) - U_D (0.5) = \frac{22}{8}\] \[U_B (0.125 + 0.5) - U_D (0.5) = 2.75\] \[0.625 U_B - 0.5 U_D = 2.75 \quad (2')\]Узел C:
\[U_C (\frac{1}{R_{02}+R_2} + \frac{1}{R_C}) - U_D \frac{1}{R_C} = \frac{E_2}{R_{02}+R_2}\] \[U_C (\frac{1}{1+4.8} + \frac{1}{3}) - U_D \frac{1}{3} = \frac{6}{1+4.8}\] \[U_C (\frac{1}{5.8} + \frac{1}{3}) - U_D (0.3333) = \frac{6}{5.8}\] \[U_C (0.1724 + 0.3333) - U_D (0.3333) = 1.0344\] \[0.5057 U_C - 0.3333 U_D = 1.0344 \quad (3')\]Узел D:
\[U_D (\frac{1}{R_A} + \frac{1}{R_B} + \frac{1}{R_C}) - U_A \frac{1}{R_A} - U_B \frac{1}{R_B} - U_C \frac{1}{R_C} = 0\] \[U_D (\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) - U_A \frac{1}{1.2} - U_B \frac{1}{2} - U_C \frac{1}{3} = 0\] \[U_D (0.8333 + 0.5 + 0.3333) - U_A (0.8333) - U_B (0.5) - U_C (0.3333) = 0\] \[-0.8333 U_A - 0.5 U_B - 0.3333 U_C + 1.6666 U_D = 0 \quad (4')\]Из (1'): \(U_A = \frac{5 + 0.8333 U_D}{1.3333}\)
Из (2'): \(U_B = \frac{2.75 + 0.5 U_D}{0.625}\)
Из (3'): \(U_C = \frac{1.0344 + 0.3333 U_D}{0.5057}\)
Подставляем \(U_A, U_B, U_C\) в (4'):
\[-0.8333 \left(\frac{5 + 0.8333 U_D}{1.3333}\right) - 0.5 \left(\frac{2.75 + 0.5 U_D}{0.625}\right) - 0.3333 \left(\frac{1.0344 + 0.3333 U_D}{0.5057}\right) + 1.6666 U_D = 0\]Выполняем вычисления:
\[-0.8333 \cdot (3.75 + 0.625 U_D) - 0.5 \cdot (4.4 + 0.8 U_D) - 0.3333 \cdot (2.0455 + 0.6591 U_D) + 1.6666 U_D = 0\] \[-3.1248 - 0.5208 U_D - 2.2 - 0.4 U_D - 0.6816 - 0.2197 U_D + 1.6666 U_D = 0\]Группируем члены с \(U_D\):
\[(-0.5208 - 0.4 - 0.2197 + 1.6666) U_D = 3.1248 + 2.2 + 0.6816\] \[0.5261 U_D = 6.0064\] \[U_D = \frac{6.0064}{0.5261} \approx 11.4166 \text{ В}\]Теперь находим \(U_A, U_B, U_C\):
\[U_A = \frac{5 + 0.8333 \cdot 11.4166}{1.3333} = \frac{5 + 9.5134}{1.3333} = \frac{14.5134}{1.3333} \approx 10.885 \text{ В}\] \[U_B = \frac{2.75 + 0.5 \cdot 11.41