Задание:
В электрической цепи (рис.2) преобразовать треугольник сопротивлений \(R_4, R_5, R_6\) в эквивалентную звезду сопротивлений \(R_A, R_B, R_C\). Начертить схему замещения. Определить величины токов \(I_1, I_2, I_3\) методом, указанным в таблице 4.
Проверку правильности решения произвести методом узлового напряжения.
Исходные данные для варианта №2:
- \(E_1 = 10\) В
- \(E_2 = 6\) В
- \(E_3 = 22\) В
- \(R_1 = 2\) Ом
- \(R_2 = 4.8\) Ом
- \(R_3 = 7\) Ом
- \(R_4 = 4\) Ом
- \(R_5 = 10\) Ом
- \(R_6 = 6\) Ом
- \(R_{01} = 0\) Ом
- \(R_{02} = 1\) Ом
- \(R_{03} = 1\) Ом
Метод расчёта: Метод контурных токов и метод узловых напряжений (для проверки).
Решение:
1. Преобразование треугольника сопротивлений \(R_4, R_5, R_6\) в эквивалентную звезду \(R_A, R_B, R_C\)
Сначала определим, какие сопротивления образуют треугольник. На схеме видно, что \(R_4, R_5, R_6\) образуют треугольник между тремя узлами. Обозначим эти узлы как 1, 2, 3 (см. рисунок ниже, где я перерисовал часть схемы для ясности).
Представим, что узел, к которому подключены \(R_4\) и \(R_6\), это узел A. Узел, к которому подключены \(R_4\) и \(R_5\), это узел B. Узел, к которому подключены \(R_5\) и \(R_6\), это узел C.
Формулы для преобразования треугольника в звезду:
\[R_A = \frac{R_4 \cdot R_6}{R_4 + R_5 + R_6}\] \[R_B = \frac{R_4 \cdot R_5}{R_4 + R_5 + R_6}\] \[R_C = \frac{R_5 \cdot R_6}{R_4 + R_5 + R_6}\]Подставим значения:
\[R_A = \frac{4 \cdot 6}{4 + 10 + 6} = \frac{24}{20} = 1.2 \text{ Ом}\] \[R_B = \frac{4 \cdot 10}{4 + 10 + 6} = \frac{40}{20} = 2 \text{ Ом}\] \[R_C = \frac{10 \cdot 6}{4 + 10 + 6} = \frac{60}{20} = 3 \text{ Ом}\]Теперь начертим схему замещения с эквивалентной звездой. В центре звезды будет новый узел, назовем его N.
Схема замещения:
Нарисуйте исходную схему. Затем мысленно удалите треугольник \(R_4, R_5, R_6\). Вместо него вставьте звезду с сопротивлениями \(R_A, R_B, R_C\). Узел, к которому был подключен \(R_4\) и \(R_6\), теперь будет соединен с \(R_A\). Узел, к которому был подключен \(R_4\) и \(R_5\), теперь будет соединен с \(R_B\). Узел, к которому был подключен \(R_5\) и \(R_6\), теперь будет соединен с \(R_C\). Центральная точка звезды (узел N) будет новой точкой в схеме.
(Здесь должен быть рисунок схемы замещения. Поскольку я не могу рисовать, я опишу, как она выглядит):
Представьте, что верхний узел, где сходятся \(R_4\) и \(R_6\), теперь соединен с \(R_A\). Этот узел также соединен с \(R_{01}\) и \(E_1\). Правый узел, где сходятся \(R_4\) и \(R_5\), теперь соединен с \(R_B\). Этот узел также соединен с \(R_{03}\) и \(E_3\). Нижний узел, где сходятся \(R_5\) и \(R_6\), теперь соединен с \(R_C\). Этот узел также соединен с \(R_{02}\) и \(E_2\). Все три сопротивления \(R_A, R_B, R_C\) сходятся в центральной точке N.
Остальные элементы схемы остаются на своих местах: \(R_1\) соединен с \(E_1\) и \(R_{01}\). \(R_2\) соединен с \(E_2\) и \(R_{02}\). \(R_3\) соединен с \(E_3\) и \(R_{03}\).
2. Определение величин токов \(I_1, I_2, I_3\) методом контурных токов
После преобразования схемы, она становится более простой для анализа. Давайте перерисуем схему с учетом преобразования и обозначим контуры.
Новые сопротивления ветвей:
- Ветвь 1 (левая): \(R_{1\text{общ}} = R_1 + R_{01} + R_A = 2 + 0 + 1.2 = 3.2\) Ом
- Ветвь 2 (нижняя): \(R_{2\text{общ}} = R_2 + R_{02} + R_C = 4.8 + 1 + 3 = 8.8\) Ом
- Ветвь 3 (правая): \(R_{3\text{общ}} = R_3 + R_{03} + R_B = 7 + 1 + 2 = 10\) Ом
Теперь у нас есть три ветви, которые сходятся в центральном узле N и в общем нижнем узле (который мы можем принять за нулевой потенциал).
Давайте выберем три независимых контура. Удобно выбрать контуры, проходящие через источники ЭДС.
Обозначим контурные токи: \(I_{к1}\) - ток в левом контуре (через \(E_1\), \(R_1\), \(R_{01}\), \(R_A\)) \(I_{к2}\) - ток в нижнем контуре (через \(E_2\), \(R_2\), \(R_{02}\), \(R_C\)) \(I_{к3}\) - ток в правом контуре (через \(E_3\), \(R_3\), \(R_{03}\), \(R_B\))
Однако, такая схема с тремя ветвями, сходящимися в одной точке, удобнее решается методом узловых потенциалов или методом двух узлов. Но поскольку требуется метод контурных токов, давайте определим контуры.
Представим схему как три ветви, соединенные между двумя узлами: верхним (назовем его N) и нижним (общий, нулевой потенциал).
Ветвь 1: \(E_1\), \(R_1\), \(R_{01}\), \(R_A\)
Ветвь 2: \(E_2\), \(R_2\), \(R_{02}\), \(R_C\)
Ветвь 3: \(E_3\), \(R_3\), \(R_{03}\), \(R_B\)
Это не совсем так. \(R_A, R_B, R_C\) сходятся в узле N. Другие концы \(R_A, R_B, R_C\) соединены с соответствующими ветвями. Давайте обозначим узлы: Верхний левый узел (между \(R_1\) и \(R_{01}\) и \(R_A\)) - назовем его U1. Нижний узел (между \(R_2\) и \(R_{02}\) и \(R_C\)) - назовем его U2. Верхний правый узел (между \(R_3\) и \(R_{03}\) и \(R_B\)) - назовем его U3. Центральный узел звезды - N. Общий нижний провод - примем за нулевой потенциал.
Тогда ветви будут: 1. От U1 через \(R_A\) к N. 2. От U2 через \(R_C\) к N. 3. От U3 через \(R_B\) к N.
И еще три ветви, содержащие источники ЭДС и сопротивления: 4. От общего провода через \(R_1\), \(E_1\), \(R_{01}\) к U1. 5. От общего провода через \(R_2\), \(E_2\), \(R_{02}\) к U2. 6. От общего провода через \(R_3\), \(E_3\), \(R_{03}\) к U3.
Это сложная схема для метода контурных токов, если не перерисовать ее правильно. Давайте упростим.
Перерисованная схема для метода контурных токов:
У нас есть 4 узла: U1, U2, U3 и N. И общий провод (нулевой потенциал).
Давайте выберем 3 независимых контура.
Контур I: Проходит через \(E_1\), \(R_1\), \(R_{01}\), \(R_A\), \(R_C\), \(R_{02}\), \(E_2\), \(R_2\).
Контур II: Проходит через \(E_2\), \(R_2\), \(R_{02}\), \(R_C\), \(R_B\), \(R_{03}\), \(E_3\), \(R_3\).
Контур III: Проходит через \(E_1\), \(R_1\), \(R_{01}\), \(R_A\), \(R_B\), \(R_{03}\), \(E_3\), \(R_3\).
Это не совсем правильно. Лучше выбрать контуры так, чтобы они охватывали "ячейки" схемы.
Давайте обозначим узлы: 1. Верхний левый узел (между \(R_1\), \(R_{01}\) и \(R_A\)) 2. Верхний правый узел (между \(R_3\), \(R_{03}\) и \(R_B\)) 3. Нижний узел (между \(R_2\), \(R_{02}\) и \(R_C\)) 4. Центральный узел звезды (N) 5. Общий нижний провод (нулевой потенциал)
У нас 5 узлов, 3 из которых не являются нулевыми. Количество независимых контуров \(K = B - N + 1\), где \(B\) - количество ветвей, \(N\) - количество узлов. Количество ветвей: 1. \(E_1, R_1, R_{01}\) 2. \(R_A\) 3. \(E_2, R_2, R_{02}\) 4. \(R_C\) 5. \(E_3, R_3, R_{03}\) 6. \(R_B\) Всего 6 ветвей. Количество узлов: 4 (U1, U2, U3, N) + 1 (общий провод) = 5 узлов. Количество независимых контуров: \(6 - 5 + 1 = 2\).
Это означает, что мы можем выбрать 2 контура. Давайте выберем их.
Контур I: Проходит через \(E_1, R_1, R_{01}, R_A, R_C, R_{02}, E_2, R_2\). Контур II: Проходит через \(E_3, R_3, R_{03}, R_B, R_C, R_{02}, E_2, R_2\).
Обозначим контурные токи \(I_{кI}\) и \(I_{кII}\). Направления токов выберем по часовой стрелке.
Уравнения по второму закону Кирхгофа для контурных токов:
Для контура I:
Сумма ЭДС в контуре: \(E_1 - E_2 = 10 - 6 = 4\) В (положительное направление \(E_1\) совпадает с направлением контура, \(E_2\) - противоположно).
Сумма падений напряжения: \(I_{кI} \cdot (R_1 + R_{01} + R_A + R_C + R_{02} + R_2) - I_{кII} \cdot (R_C + R_{02} + R_2) = E_1 - E_2\)
Подставим значения:
\(R_1 + R_{01} + R_A = 2 + 0 + 1.2 = 3.2\) Ом
\(R_C + R_{02} + R_2 = 3 + 1 + 4.8 = 8.8\) Ом
Сумма сопротивлений в контуре I: \(3.2 + 8.8 = 12\) Ом
Общее сопротивление между контурами I и II: \(R_{12} = R_C + R_{02} + R_2 = 8.8\) Ом
Уравнение для контура I:
\[12 \cdot I_{кI} - 8.8 \cdot I_{кII} = 4 \quad (1)\]Для контура II:
Сумма ЭДС в контуре: \(E_3 - E_2 = 22 - 6 = 16\) В (положительное направление \(E_3\) совпадает с направлением контура, \(E_2\) - противоположно).
Сумма падений напряжения: \(I_{кII} \cdot (R_3 + R_{03} + R_B + R_C + R_{02} + R_2) - I_{кI} \cdot (R_C + R_{02} + R_2) = E_3 - E_2\)
Подставим значения:
\(R_3 + R_{03} + R_B = 7 + 1 + 2 = 10\) Ом
\(R_C + R_{02} + R_2 = 3 + 1 + 4.8 = 8.8\) Ом
Сумма сопротивлений в контуре II: \(10 + 8.8 = 18.8\) Ом
Уравнение для контура II:
\[-8.8 \cdot I_{кI} + 18.8 \cdot I_{кII} = 16 \quad (2)\]Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
\[\begin{cases} 12 \cdot I_{кI} - 8.8 \cdot I_{кII} = 4 \\ -8.8 \cdot I_{кI} + 18.8 \cdot I_{кII} = 16 \end{cases}\]Решим эту систему. Из первого уравнения выразим \(I_{кI}\):
\[12 \cdot I_{кI} = 4 + 8.8 \cdot I_{кII}\] \[I_{кI} = \frac{4 + 8.8 \cdot I_{кII}}{12} = \frac{1}{3} + \frac{8.8}{12} \cdot I_{кII} = 0.3333 + 0.7333