Решение задачи: Распределение программистов по компаниям

Задача: Сколькими способами можно распределить 5 программистов на работу в 3 компании? (Допускается, что в какую-то из компаний не попадет никто). Решение: 1. В данной задаче важно определить, являются ли программисты "различимыми" объектами. В классических задачах комбинаторики люди всегда считаются различными (у каждого есть имя, фамилия и уникальные навыки). 2. Рассмотрим ситуацию, когда программисты — разные люди. Для каждого из 5 программистов существует 3 варианта выбора компании (он может пойти в первую, вторую или третью компанию). Так как выбор каждого программиста независим от выбора других, используем правило произведения: \[ 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^5 \] \[ 3^5 = 243 \] Такого варианта в списке нет. 3. Рассмотрим ситуацию, когда программисты рассматриваются как "неразличимые" единицы (важно только количество человек, попавших в каждую компанию). В этом случае задача сводится к поиску количества сочетаний с повторениями из \( n = 3 \) (компании) по \( k = 5 \) (программисты). Формула сочетаний с повторениями: \[ \bar{C}_n^k = C_{n+k-1}^k \] 4. Подставим значения: \[ n = 3, k = 5 \] \[ \bar{C}_3^5 = C_{3+5-1}^5 = C_7^5 \] 5. Вычислим значение через обычные сочетания: \[ C_7^5 = C_7^{7-5} = C_7^2 \] \[ C_7^2 = \frac{7!}{2! \cdot (7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{1 \cdot 2} = \frac{42}{2} = 21 \] 6. Число 21 присутствует в вариантах ответа. Это означает, что составитель задачи подразумевал программистов как неразличимые объекты (что не совсем корректно для людей, но часто встречается в подобных тестах). Ответ: 21. (Первый вариант в списке).