Решение: Реши всë

Вариант II Задание 1. Доказать, что \( F(x) = e^{3x} + \cos x + x \) является первообразной функции \( f(x) = 3e^{3x} - \sin x + 1 \). Доказательство: По определению, функция \( F(x) \) является первообразной для \( f(x) \), если \( F'(x) = f(x) \). Вычислим производную функции \( F(x) \): \[ F'(x) = (e^{3x} + \cos x + x)' = (e^{3x})' + (\cos x)' + (x)' \] Применяя правила дифференцирования (производная сложной функции и табличные производные): \[ F'(x) = 3e^{3x} - \sin x + 1 \] Так как \( F'(x) = f(x) \), то утверждение доказано. Задание 2. Найти первообразную \( F \) функции \( f(x) = -3\sqrt[3]{x} \), график которой проходит через точку \( A(0; \frac{3}{4}) \). Решение: 1) Запишем функцию в виде степени: \( f(x) = -3x^{\frac{1}{3}} \). 2) Найдем общий вид первообразной: \[ F(x) = \int -3x^{\frac{1}{3}} dx = -3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1} + C = -3 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{4}} + C = -3 \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C = -\frac{9}{4} \sqrt[3]{x^4} + C \] 3) Используем координаты точки \( A(0; \frac{3}{4}) \), чтобы найти \( C \): \[ \frac{3}{4} = -\frac{9}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + C \implies C = \frac{3}{4} \] Ответ: \( F(x) = -\frac{9}{4} \sqrt[3]{x^4} + \frac{3}{4} \). Задание 2а. Вычислите неопределенный интеграл \( y = \frac{1}{3}x^2 - 2x + 4 \). (Примечание: вероятно, требуется найти интеграл от данной функции). Решение: \[ \int (\frac{1}{3}x^2 - 2x + 4) dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x + C = \frac{x^3}{9} - x^2 + 4x + C \] Ответ: \( \frac{x^3}{9} - x^2 + 4x + C \). Задание 3. Вычислить площадь фигуры \( F \), изображенной на рисунке 91. Фигура ограничена графиком \( y = -x^2 + 6x - 5 \), осью \( Ox \) и прямыми \( x = 2 \), \( x = 3 \). Решение: Площадь \( S \) находится с помощью определенного интеграла: \[ S = \int_{2}^{3} (-x^2 + 6x - 5) dx = [-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x] \Big|_2^3 \] Подставим верхний и нижний пределы: \[ S = (-\frac{3^3}{3} + 3 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3) - (-\frac{2^3}{3} + 3 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2) \] \[ S = (-9 + 27 - 15) - (-\frac{8}{3} + 12 - 10) = 3 - (-\frac{8}{3} + 2) = 3 - (-\frac{2}{3}) = 3 + \frac{2}{3} = 3\frac{2}{3} \] Ответ: \( 3\frac{2}{3} \) кв. ед. Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой \( y = 3 - 2x \) и графиком функции \( y = x^2 + 3x - 3 \). Решение: 1) Найдем точки пересечения графиков: \[ x^2 + 3x - 3 = 3 - 2x \] \[ x^2 + 5x - 6 = 0 \] По теореме Виета: \( x_1 = -6 \), \( x_2 = 1 \). 2) На интервале \( [-6; 1] \) прямая находится выше параболы. Площадь: \[ S = \int_{-6}^{1} ((3 - 2x) - (x^2 + 3x - 3)) dx = \int_{-6}^{1} (-x^2 - 5x + 6) dx \] \[ S = [-\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x] \Big|_{-6}^{1} \] \[ S = (-\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 6) - (-\frac{(-6)^3}{3} - \frac{5(-6)^2}{2} + 6(-6)) \] \[ S = (-\frac{2}{6} - \frac{15}{6} + \frac{36}{6}) - (72 - 90 - 36) = \frac{19}{6} - (-54) = 3\frac{1}{6} + 54 = 57\frac{1}{6} \] Ответ: \( 57\frac{1}{6} \) кв. ед.