Решение задач с корнями и степенями

Ниже представлены решения задач с изображения в удобном для переписывания виде. Задание 1. Вычислить значение выражения: \[ 7 \cdot \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[12]{27} \] Решение: Представим корни в виде степеней: \[ 7 \cdot 27^{\frac{1}{4}} \cdot 27^{\frac{1}{12}} = 7 \cdot 27^{\frac{1}{4} + \frac{1}{12}} \] Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 12: \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] Тогда: \[ 7 \cdot 27^{\frac{1}{3}} = 7 \cdot \sqrt[3]{27} = 7 \cdot 3 = 21 \] Ответ: 21. Задание 2. Вычислить значение выражения: \[ \frac{\sqrt[5]{10} \cdot \sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{5}} \] Решение: Используем свойство корня одной степени: \[ \frac{\sqrt[5]{10 \cdot 16}}{\sqrt[5]{5}} = \sqrt[5]{\frac{160}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2 \] Ответ: 2. Задание 3. Вычислить значение выражения: \[ \frac{\sqrt[15]{6} \cdot \sqrt[10]{6}}{\sqrt[6]{6}} \] Решение: Перейдем к степеням с основанием 6: \[ \frac{6^{\frac{1}{15}} \cdot 6^{\frac{1}{10}}}{6^{\frac{1}{6}}} = 6^{\frac{1}{15} + \frac{1}{10} - \frac{1}{6}} \] Найдем общий знаменатель для дробей в показателе (это 30): \[ \frac{2}{30} + \frac{3}{30} - \frac{5}{30} = \frac{2+3-5}{30} = \frac{0}{30} = 0 \] Тогда: \[ 6^0 = 1 \] Ответ: 1. Задание 4. Решить уравнение: \[ \sqrt{-23 + 6x + 6x^2} = 3x - 2 \] Решение: Уравнение равносильно системе: \[ \begin{cases} 3x - 2 \geq 0 \\ -23 + 6x + 6x^2 = (3x - 2)^2 \end{cases} \] 1) Из первого условия: \( 3x \geq 2 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3} \). 2) Возведем в квадрат: \[ -23 + 6x + 6x^2 = 9x^2 - 12x + 4 \] Перенесем всё в одну сторону: \[ 3x^2 - 18x + 27 = 0 \] Разделим на 3: \[ x^2 - 6x + 9 = 0 \] \[ (x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3 \] Проверка условия: \( 3 \geq \frac{2}{3} \) — верно. Ответ: 3. Задание 5. Решить неравенство: \[ (x - 5)\sqrt{x - 2} \geq 0 \] Решение: 1) Область допустимых значений (ОДЗ): \( x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \). 2) Корень всегда неотрицателен. Рассмотрим два случая: а) Корень равен нулю: \( \sqrt{x - 2} = 0 \Rightarrow x = 2 \). При этом значении всё выражение равно 0, что удовлетворяет знаку \( \geq \). б) Корень больше нуля: \( \sqrt{x - 2} > 0 \) (при \( x > 2 \)). Тогда на него можно разделить: \[ x - 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 5 \] Объединяя результаты с учетом ОДЗ: \( x = 2 \) и \( x \geq 5 \). Ответ: \( \{2\} \cup [5; +\infty) \). Задание 6. Решить неравенство: \[ \sqrt{9 - x} < x - 3 \] Решение: Данное неравенство равносильно системе: \[ \begin{cases} 9 - x \geq 0 \text{ (ОДЗ)} \\ x - 3 > 0 \text{ (правая часть должна быть положительна)} \\ 9 - x < (x - 3)^2 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x \leq 9 \\ x > 3 \\ 9 - x < x^2 - 6x + 9 \end{cases} \] Решим квадратное неравенство: \[ x^2 - 5x > 0 \] \[ x(x - 5) > 0 \] Корни: 0 и 5. Интервалы: \( (-\infty; 0) \cup (5; +\infty) \). Учитывая условия \( 3 < x \leq 9 \), получаем пересечение: \[ 5 < x \leq 9 \] Ответ: \( (5; 9] \).