Решение: Реши все

Представляю решение задач Варианта II, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1 Дано: \(PE \parallel NK\), \(MP = 8\), \(MN = 12\), \(ME = 6\). Найти: а) \(MK\); б) \(PE : NK\); в) \(S_{MEP} : S_{MKN}\). Решение: а) Так как \(PE \parallel NK\), то по теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников): \[ \frac{MP}{MN} = \frac{ME}{MK} \] Подставим известные значения: \[ \frac{8}{12} = \frac{6}{MK} \] \[ MK = \frac{12 \cdot 6}{8} = \frac{72}{8} = 9 \] б) Треугольники \(MEP\) и \(MKN\) подобны по двум углам (\(\angle M\) — общий, \(\angle MEP = \angle MKN\) как соответственные при \(PE \parallel NK\)). Коэффициент подобия \(k\): \[ k = \frac{MP}{MN} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \] Следовательно, отношение соответствующих сторон: \[ PE : NK = 2 : 3 \] в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = k^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} \] Ответ: а) 9; б) 2 : 3; в) 4 : 9. Задача 2 Дано: \(\triangle ABC\): \(AB = 12\) см, \(BC = 18\) см, \(\angle B = 70^\circ\). \(\triangle MNK\): \(MN = 6\) см, \(NK = 9\) см, \(\angle N = 70^\circ\). \(MK = 7\) см, \(\angle K = 60^\circ\). Найти: \(AC\), \(\angle C\). Решение: 1. Рассмотрим отношение сторон треугольников, прилежащих к равному углу (\(\angle B = \angle N = 70^\circ\)): \[ \frac{AB}{MN} = \frac{12}{6} = 2 \] \[ \frac{BC}{NK} = \frac{18}{9} = 2 \] Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны, то \(\triangle ABC \sim \triangle MNK\) по второму признаку подобия. Коэффициент подобия \(k = 2\). 2. Из подобия следует: \[ \frac{AC}{MK} = k \Rightarrow AC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 7 = 14 \text{ см} \] 3. В подобных треугольниках соответствующие углы равны. Угол \(C\) соответствует углу \(K\): \[ \angle C = \angle K = 60^\circ \] Ответ: \(AC = 14\) см, \(\angle C = 60^\circ\). Задача 3 Дано: \(AB \cap CD = O\), \(\angle ACO = \angle BDO\), \(AO : OB = 2 : 3\). \(P_{BOD} = 21\) см. Найти: \(P_{ACO}\). Решение: 1. Рассмотрим \(\triangle ACO\) и \(\triangle BDO\): \(\angle ACO = \angle BDO\) (по условию); \(\angle AOC = \angle BOD\) (как вертикальные). Следовательно, \(\triangle ACO \sim \triangle BDO\) по двум углам. 2. Коэффициент подобия \(k\) равен отношению соответствующих сторон: \[ k = \frac{AO}{OB} = \frac{2}{3} \] 3. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: \[ \frac{P_{ACO}}{P_{BOD}} = k \Rightarrow \frac{P_{ACO}}{21} = \frac{2}{3} \] \[ P_{ACO} = \frac{21 \cdot 2}{3} = 7 \cdot 2 = 14 \text{ см} \] Ответ: 14 см. Задача 4 Дано: Трапеция \(ABCD\), \(AD \parallel BC\), \(AC \cap BD = O\). \(S_{AOD} = 32\) см\(^2\), \(S_{BOC} = 8\) см\(^2\), \(AD > 10\) см. Найти: \(AD\). Решение: 1. Треугольники \(AOD\) и \(COB\) подобны по двум углам (\(\angle AOD = \angle COB\) как вертикальные, \(\angle OAD = \angle OCB\) как накрест лежащие при \(AD \parallel BC\)). 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2 \Rightarrow \frac{32}{8} = 4 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k = 2 \] 3. Так как \(k = 2\), то отношение соответствующих сторон: \[ \frac{AD}{BC} = k = 2 \Rightarrow AD = 2 \cdot BC \] В условии задачи не хватает данных для нахождения точного числового значения \(AD\) (например, длины \(BC\) или высоты). Однако, если это задача на выбор или проверку условия \(AD > 10\), то мы установили связь \(AD = 2 \cdot BC\). Если предположить, что в условии опечатка и \(AD + BC\) или иная величина известна, решение можно было бы продолжить. При текущих данных ответ выражается через \(BC\). Ответ: \(AD = 2 \cdot BC\).