Решение задачи по геометрии: Вариант 1, Задача 1

Ниже представлено решение задач Варианта 1 в виде, удобном для переписывания в школьную тетрадь. Задача 1 Дано: \( \angle A = \angle B \), \( CO = 4 \), \( DO = 6 \), \( AO = 5 \). Найти: а) \( OB \); б) \( AC : BD \); в) \( S_{AOC} : S_{BOD} \). Решение: 1. Рассмотрим треугольники \( AOC \) и \( BOD \). По условию \( \angle A = \angle B \). \( \angle AOC = \angle BOD \) как вертикальные. Следовательно, \( \triangle AOC \sim \triangle BOD \) по двум углам (первый признак подобия). 2. Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон: \[ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} = \frac{AC}{BD} \] а) Найдем \( OB \): \[ \frac{5}{OB} = \frac{4}{6} \] \[ OB = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7,5 \] б) Найдем отношение \( AC : BD \): Коэффициент подобия \( k = \frac{CO}{DO} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \). Значит, \( AC : BD = 2 : 3 \). в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = k^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} \] Ответ: а) 7,5; б) 2 : 3; в) 4 : 9. Задача 2 Дано: \( \triangle ABC \): \( AB = 4 \) см, \( BC = 1 \) см, \( AC = 6 \) см. \( \triangle MNK \): \( MK = 8 \) см, \( MN = 12 \) см, \( KN = 14 \) см. Найти: углы \( \triangle MNK \), если \( \angle A = 80^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \). Решение: 1. Проверим подобие треугольников по трем сторонам. Выпишем отношения сторон от меньшей к большей: Для \( \triangle ABC \): 1; 4; 6. Для \( \triangle MNK \): 8; 12; 14. \[ \frac{1}{8} \neq \frac{4}{12} \neq \frac{6}{14} \] Стороны не пропорциональны, треугольники не подобны. Однако, в школьных задачах такого типа часто предполагается подобие. Перепроверим условие: если бы стороны \( \triangle ABC \) были, например, 4, 6, 7, то подобие бы имело место. При данных числах найти углы невозможно без использования теоремы косинусов. 2. Найдем \( \angle C \) в \( \triangle ABC \): \[ \angle C = 180^\circ - (80^\circ + 60^\circ) = 40^\circ \] Если бы треугольники были подобны, углы \( \triangle MNK \) были бы такими же. В рамках школьной программы, скорее всего, в условии опечатка в длинах сторон. Задача 3 Дано: \( \triangle ABC \), \( P_{ABC} = 25 \) см. \( MK \parallel AC \), \( M \in AB \), \( K \in BC \). \( BM : AM = 1 : 4 \). Найти: \( P_{BMK} \). Решение: 1. Так как \( MK \parallel AC \), то \( \triangle BMK \sim \triangle BAC \) по двум углам (\( \angle B \) — общий, \( \angle BMK = \angle BAC \) как соответственные). 2. Найдем коэффициент подобия \( k \). Пусть \( BM = x \), тогда \( AM = 4x \). Сторона \( AB = BM + AM = x + 4x = 5x \). \[ k = \frac{BM}{AB} = \frac{x}{5x} = \frac{1}{5} \] 3. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: \[ \frac{P_{BMK}}{P_{ABC}} = k \] \[ P_{BMK} = 25 \cdot \frac{1}{5} = 5 \text{ (см)} \] Ответ: 5 см. Задача 4 Дано: Трапеция \( ABCD \), \( AD \parallel BC \). \( AD = 12 \) см, \( BC = 4 \) см. \( S_{AOD} = 45 \) см\(^2 \). Найти: \( S_{BOC} \). Решение: 1. Рассмотрим \( \triangle BOC \) и \( \triangle DOA \). \( \angle BOC = \angle DOA \) как вертикальные. \( \angle BCO = \angle DAO \) как накрест лежащие при \( BC \parallel AD \) и секущей \( AC \). Следовательно, \( \triangle BOC \sim \triangle DOA \) по двум углам. 2. Найдем коэффициент подобия \( k \): \[ k = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] 3. Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 \] \[ \frac{S_{BOC}}{45} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} \] \[ S_{BOC} = \frac{45}{9} = 5 \text{ (см}^2) \] Ответ: 5 см\(^2 \).