Решение задач по теме Прямоугольный треугольник

Ниже представлено решение задач по теме Прямоугольный треугольник, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: \( \triangle MKN \), \( \angle K = 90^\circ \), \( \angle M = 37^\circ \). Найти: \( \angle N \). Решение: Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \( 90^\circ \). \[ \angle N = 90^\circ - \angle M \] \[ \angle N = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ \] Ответ: \( 53^\circ \). Задача 2. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle A = 30^\circ \), \( AB = 12 \) см. Найти: \( BC \). Решение: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \( 30^\circ \), равен половине гипотенузы. \[ BC = \frac{1}{2} AB \] \[ BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \text{ (см)} \] Ответ: 6 см. Задача 3. Дано: \( \triangle PDQ \), \( \angle D = 90^\circ \), \( \angle Q = 30^\circ \), \( PD = 1,2 \) см. Найти: \( PQ \). Решение: Катет \( PD \) лежит против угла в \( 30^\circ \), значит гипотенуза \( PQ \) в два раза больше этого катета. \[ PQ = 2 \cdot PD \] \[ PQ = 2 \cdot 1,2 = 2,4 \text{ (см)} \] Ответ: 2,4 см. Задача 4. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle A = 90^\circ \), \( AB = 4,2 \) см, \( BC = 8,4 \) см. Найти: \( \angle B \). Решение: Заметим, что \( \frac{AB}{BC} = \frac{4,2}{8,4} = \frac{1}{2} \). Так как катет \( AB \) равен половине гипотенузы \( BC \), то угол, лежащий против этого катета, равен \( 30^\circ \). \[ \angle C = 30^\circ \] Тогда второй острый угол треугольника: \[ \angle B = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] Ответ: \( 60^\circ \). Задача 5. Дано: \( \triangle ADM \), \( \angle D = 90^\circ \), \( \angle DCM = 70^\circ \), \( MC \) — биссектриса \( \angle AMD \). Найти: \( \angle DAM \). Решение: 1) В \( \triangle CDM \): \( \angle CMD = 90^\circ - \angle DCM = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ \). 2) Так как \( MC \) — биссектриса (судя по обозначениям на чертеже), то \( \angle AMD = 2 \cdot \angle CMD = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ \). 3) В \( \triangle ADM \): \( \angle DAM = 90^\circ - \angle AMD = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \). Ответ: \( 50^\circ \). Задача 6. Дано: \( \triangle PCM \), \( \angle C = 90^\circ \), \( PC = CM \), \( CA \perp PM \), \( CA = 8 \) см. Найти: \( MP \). Решение: 1) Так как \( PC = CM \), то \( \triangle PCM \) — равнобедренный прямоугольный треугольник. Углы при основании \( \angle P = \angle M = 45^\circ \). 2) Высота \( CA \), проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой и биссектрисой. 3) В \( \triangle CAM \): \( \angle A = 90^\circ \), \( \angle M = 45^\circ \), значит \( \angle ACM = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \). 4) Треугольник \( CAM \) равнобедренный (\( CA = AM \)), следовательно \( AM = 8 \) см. 5) Так как \( CA \) — медиана, то \( MP = 2 \cdot AM = 2 \cdot 8 = 16 \text{ (см)} \). Ответ: 16 см.