Решение задач по геометрии за 8 класс

Ниже представлены решения задач, оформленные для записи в школьную тетрадь. Задача №7 Дано: ABCD — прямоугольник. Отрезки из точки пересечения диагоналей к сторонам являются средними линиями треугольников (так как точка пересечения диагоналей делит их пополам). 1) Расстояние от центра до стороны AD равно 2, значит сторона AB (высота) в два раза больше: \[ AB = 2 \cdot 2 = 4 \] 2) Расстояние от центра до стороны AB равно 3, значит сторона AD (основание) в два раза больше: \[ AD = 2 \cdot 3 = 6 \] 3) Периметр прямоугольника: \[ P = 2 \cdot (AB + AD) = 2 \cdot (4 + 6) = 20 \] Ответ: 20. Задача №8 Дано: ABCD — прямоугольник, \( AC = 22 \), \( \angle CAD = 30^\circ \). 1) В прямоугольном треугольнике ACD катет CD лежит против угла в \( 30^\circ \), значит он равен половине гипотенузы AC: \[ CD = \frac{AC}{2} = \frac{22}{2} = 11 \] 2) Сторона \( AB = CD = 11 \). Сторона \( AD = BC = 19 \). 3) Периметр: \[ P = 2 \cdot (11 + 19) = 2 \cdot 30 = 60 \] Ответ: 60. Задача №9 Дано: ABCD — прямоугольник. Найти \( \alpha \) и \( \beta \). 1) В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, \( \triangle AOB \) — равнобедренный (\( AO = BO \)). 2) Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle OAB = \angle OBA = 70^\circ \). 3) Угол \( \angle BAD = 90^\circ \). Тогда: \[ \angle OAD = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ \] 4) Так как \( \triangle AOD \) равнобедренный (\( AO = OD \)), то \( \beta = \angle OAD = 20^\circ \). 5) Рассмотрим \( \triangle ABC \). Угол \( \angle ABC = 90^\circ \). Так как \( \triangle BOC \) равнобедренный (\( BO = OC \)), а \( \angle OBC = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ \), то: \[ \alpha = \angle OCB = \angle OBC = 20^\circ \] Ответ: \( \alpha = 20^\circ \), \( \beta = 20^\circ \). Задача №10 Дано: ABCD — ромб (судя по обозначению сторон и специфике задачи 8 класса), \( BH \perp AD \), \( AH = 5 \), \( \angle ABH = 30^\circ \). Найти \( P_{ABCD} \). 1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (\( \angle H = 90^\circ \)). 2) Катет AH лежит против угла \( \angle ABH = 30^\circ \). По свойству прямоугольного треугольника, гипотенуза AB в два раза больше этого катета: \[ AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 5 = 10 \] 3) Так как у ромба все стороны равны, то \( AB = BC = CD = DA = 10 \). 4) Периметр ромба: \[ P = 4 \cdot AB = 4 \cdot 10 = 40 \] Ответ: 40.