Решение задач 9-16 ОГЭ по математике: Арифметическая прогрессия

Ниже представлены решения задач с 9 по 16, оформленные для записи в тетрадь. В решениях используются формулы арифметической прогрессии из справочных материалов ОГЭ. Задача 9. Заметим, что длины звеньев «змейки» идут парами: 1, 1, 2, 2, 3, 3, ..., n, n. По условию последнее звено \(n = 290\). Суммарная длина ломаной \(L\) равна: \[L = 2 \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + 290)\] Используем формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\] \[L = 2 \cdot \frac{1 + 290}{2} \cdot 290 = 291 \cdot 290 = 84390\] Ответ: 84390. Задача 10. Дано: \(S_n = 560\), \(a_1 + a_n = 80\). Найти \(n\). Используем формулу суммы: \[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\] \[560 = \frac{80}{2} \cdot n\] \[560 = 40 \cdot n\] \[n = 560 : 40 = 14\] Ответ: 14. Задача 11. Дано: \(S_n = 528\), \(a_1 = 3\), \(n = 16\). Найти \(a_{16}\). \[S_{16} = \frac{a_1 + a_{16}}{2} \cdot 16\] \[528 = (3 + a_{16}) \cdot 8\] \[3 + a_{16} = 528 : 8\] \[3 + a_{16} = 66\] \[a_{16} = 66 - 3 = 63\] Ответ: 63. Задача 12. Дано: \(S_n = 375\), \(a_1 = 6\), \(n = 10\). Найти \(a_{10}\). \[S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10\] \[375 = (6 + a_{10}) \cdot 5\] \[6 + a_{10} = 375 : 5\] \[6 + a_{10} = 75\] \[a_{10} = 75 - 6 = 69\] Ответ: 69. Задача 13. Дано: \(a_1 = 6\), \(n = 7\), \(S_7 = 189\). Найти \(a_2\). Сначала найдем \(a_7\): \[189 = \frac{6 + a_7}{2} \cdot 7\] \[27 = \frac{6 + a_7}{2}\] \[54 = 6 + a_7 \Rightarrow a_7 = 48\] Найдем разность \(d\) по формуле \(a_n = a_1 + d(n-1)\): \[48 = 6 + d(7 - 1)\] \[42 = 6d \Rightarrow d = 7\] Тогда \(a_2 = a_1 + d = 6 + 7 = 13\). Ответ: 13. Задача 14. Дано: \(a_1 = 4\), \(n = 11\), \(S_{11} = 319\). Найти \(a_5\). Найдем \(a_{11}\): \[319 = \frac{4 + a_{11}}{2} \cdot 11\] \[29 = \frac{4 + a_{11}}{2}\] \[58 = 4 + a_{11} \Rightarrow a_{11} = 54\] Найдем \(d\): \[54 = 4 + d(11 - 1)\] \[50 = 10d \Rightarrow d = 5\] Найдем \(a_5\): \[a_5 = a_1 + 4d = 4 + 4 \cdot 5 = 24\] Ответ: 24. Задача 15. Дано: \(a_1 + a_n = 17\), \(S_n = 136\). Найти \(n\). \[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\] \[136 = \frac{17}{2} \cdot n\] \[272 = 17n\] \[n = 272 : 17 = 16\] Ответ: 16. Задача 16. Дано: \(S_7 = 105\), \(a_1 = 9\), \(n = 7\). Найти \(a_4\). Заметим, что в прогрессии с нечетным числом членов средний член \(a_4\) равен среднему арифметическому всех членов: \[S_7 = a_4 \cdot 7\] \[105 = a_4 \cdot 7\] \[a_4 = 105 : 7 = 15\] (Или через формулу: \(105 = \frac{9 + a_7}{2} \cdot 7 \Rightarrow 15 = \frac{9 + a_7}{2} \Rightarrow a_7 = 21\). Тогда \(d = (21-9):6 = 2\), и \(a_4 = 9 + 3 \cdot 2 = 15\)). Ответ: 15.