Подробное решение школьных задач с объяснениями

Ниже представлено подробное решение задач, оформленное для переписывания в тетрадь. Решение задачи №1 (по первому изображению) Дано: \(m_1 = m_2 = 2\) кг. На графике представлена зависимость проекции скорости \(v_x\) от времени \(t\). Анализ утверждений: 1) Равнодействующая сил, действующих на тело 1, монотонно убывает. Согласно второму закону Ньютона: \[F = m \cdot a\] Ускорение \(a\) — это тангенс угла наклона графика \(v(t)\). График тела 1 — прямая линия, значит, ускорение \(a_1 = \text{const}\). Следовательно, и сила \(F_1 = \text{const}\). Утверждение неверно. 2) В промежутке от 0 до 14 с тела двигались навстречу друг другу. Проекции скоростей обоих тел на графике лежат выше оси \(t\), то есть \(v_{1x} > 0\) и \(v_{2x} > 0\). Это значит, что оба тела двигались в одном направлении (вдоль оси \(Ox\)). Утверждение неверно. 3) Кинетическая энергия тела 2 за промежуток от 6 до 14 с увеличилась в 4 раза. Формула кинетической энергии: \[E_k = \frac{m \cdot v^2}{2}\] По графику для тела 2: При \(t = 6\) с, \(v_2 = 2\) м/с. При \(t = 14\) с, \(v_2 = 4\) м/с. Найдем отношение энергий: \[\frac{E_{k2}}{E_{k1}} = \frac{v_2^2}{v_1^2} = \frac{4^2}{2^2} = \frac{16}{4} = 4\] Утверждение верно. 4) Путь, пройденный телом 1 за 18 с, больше пути тела 2 за тот же срок. Путь численно равен площади фигуры под графиком скорости. Для тела 1 это трапеция с основаниями 7 и 3 (примерно) и высотой 18. Для тела 2 это трапеция с основаниями 0.5 и 5.5 и высотой 18. Визуально площадь под графиком 1 значительно больше площади под графиком 2 на этом интервале. Утверждение верно. 5) Модуль импульса тела 2 в момент \(t = 10\) с равен 10 кг·м/с. Формула импульса: \[p = m \cdot v\] По графику при \(t = 10\) с скорость тела 2 составляет \(v_2 = 3\) м/с. \[p = 2 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м/с} = 6 \text{ кг}\cdot\text{м/с}\] Утверждение неверно. Ответ: 34. --- Решение задачи №2 (по второму изображению — нижний вариант первой задачи) Здесь утверждения немного изменены. 1) Равнодействующая сил на тело 1 остаётся постоянной. Как было доказано выше, так как график \(v(t)\) — прямая, ускорение постоянно, значит \(F = m \cdot a = \text{const}\). Утверждение верно. 2) В промежутке от 0 до 14 с тела двигались в одном направлении. Да, так как \(v_{1x} > 0\) и \(v_{2x} > 0\). Утверждение верно. 3) Кинетическая энергия тела 2 от 6 до 14 с увеличилась в 2 раза. Мы уже посчитали в предыдущей задаче, что она увеличилась в 4 раза (\(4^2 / 2^2 = 4\)). Утверждение неверно. 4) Путь тела 1 за 18 с меньше пути тела 2. Нет, площадь под графиком 1 больше. Утверждение неверно. 5) Модуль импульса тела 2 в момент \(t = 10\) с равен 6 кг·м/с. \[p = m \cdot v = 2 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м/с} = 6 \text{ кг}\cdot\text{м/с}\] Утверждение верно. Ответ: 125. --- Решение задачи №3 (по третьему изображению) На графике зависимость координаты \(x\) от времени \(t\). Проекция скорости \(v_x\) — это производная координаты по времени (тангенс угла наклона касательной). 1) В положении А модуль скорости больше, чем в D. Наклон графика в точке А круче, чем в точке D. Чем круче наклон, тем больше модуль скорости. Утверждение верно. 2) В точке В проекция скорости равна нулю. Точка В — это точка минимума функции \(x(t)\). Касательная здесь горизонтальна, значит \(v_x = 0\). Утверждение верно. 3) В положении D векторы скорости и ускорения направлены в противоположные стороны. В точке D координата уменьшается, значит \(v_x < 0\). График в этой области выпуклый вверх, что означает отрицательное ускорение \(a_x < 0\). Так как знаки совпадают, векторы направлены в одну сторону (тело ускоряется в отрицательном направлении). Утверждение неверно. 4) Проекция перемещения из А в В положительна. Перемещение \(\Delta x = x_B - x_A\). Так как \(x_B < x_A\), то \(\Delta x < 0\). Утверждение неверно. 5) На участке АВ модуль скорости уменьшается. В точке А график крутой, в точке В скорость становится равной нулю. Значит, тело замедлялось. Утверждение верно. Ответ: 125.