Решение задач: степени и логарифмические неравенства

Задание 1. Вычислите \[ 9^{\frac{3}{2}} + 27^{\frac{2}{3}} - \left( \frac{1}{16} \right)^{-\frac{3}{4}} \] Решение: 1) Представим основания в виде степеней: \( 9 = 3^2 \), \( 27 = 3^3 \), \( \frac{1}{16} = 2^{-4} \). 2) Подставим и упростим: \[ (3^2)^{\frac{3}{2}} + (3^3)^{\frac{2}{3}} - (2^{-4})^{-\frac{3}{4}} = 3^{2 \cdot \frac{3}{2}} + 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} - 2^{-4 \cdot (-\frac{3}{4})} \] \[ = 3^3 + 3^2 - 2^3 = 27 + 9 - 8 = 28 \] Ответ: 28. Задание 2. Решите неравенство \[ \log_{4} (7 - x) < 3 \] Решение: 1) Область допустимых значений (ОДЗ): \( 7 - x > 0 \Rightarrow x < 7 \). 2) Решим неравенство, представив 3 как логарифм: \( \log_{4} (7 - x) < \log_{4} 4^3 \) \( 7 - x < 64 \) \( -x < 64 - 7 \) \( -x < 57 \) \( x > -57 \) 3) С учетом ОДЗ: \( -57 < x < 7 \) Ответ: \( (-57; 7) \). Задание 3. Найдите все решения уравнения \[ (\sin x + \cos x)^2 = 1 + \sin x \cos x \] на отрезке \( [0; 2\pi] \). Решение: 1) Раскроем скобки слева: \( \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \sin x \cos x \) 2) Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \): \( 1 + 2\sin x \cos x = 1 + \sin x \cos x \) \( 2\sin x \cos x - \sin x \cos x = 0 \) \( \sin x \cos x = 0 \) 3) Это уравнение распадается на два: а) \( \sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z} \) б) \( \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) Общее решение: \( x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} \). 4) Отберем корни на отрезке \( [0; 2\pi] \): При \( k=0: x = 0 \) При \( k=1: x = \frac{\pi}{2} \) При \( k=2: x = \pi \) При \( k=3: x = \frac{3\pi}{2} \) При \( k=4: x = 2\pi \) Ответ: \( 0; \frac{\pi}{2}; \pi; \frac{3\pi}{2}; 2\pi \). Задание 4. Анализ графика функции а) Область определения \( D(f) \): По оси \( x \) график начинается в точке -4 и заканчивается в точке 8. Ответ: \( [-4; 8] \). б) Значения \( x \), при которых \( -2,5 \le f(x) \le 1,5 \): Это значения \( x \), при которых график находится между указанными горизонталями. Ответ: \( [-3,5; 0,5] \cup [2,5; 5,5] \) (приблизительно по графику). в) Промежутки монотонности: \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает): \( (-4; -2) \cup (3; 8) \). \( f'(x) < 0 \) (функция убывает): \( (-2; 3) \). г) Точки экстремума: Точка максимума: \( x_{max} = -2 \). Точка минимума: \( x_{min} = 3 \). д) Наибольшее и наименьшее значения: \( y_{max} = f(8) = 5 \) (наибольшее значение в конце отрезка). \( y_{min} = f(3) = -3 \) (в точке минимума). Задание 5. Проверка первообразной Является ли \( F(x) = x^3 - 3x + 1 \) первообразной для \( f(x) = 3(x^2 - 1) \)? Решение: Функция \( F(x) \) является первообразной для \( f(x) \), если \( F'(x) = f(x) \). 1) Найдем производную \( F(x) \): \( F'(x) = (x^3 - 3x + 1)' = 3x^2 - 3 \). 2) Преобразуем выражение для \( f(x) \): \( f(x) = 3(x^2 - 1) = 3x^2 - 3 \). 3) Сравним результаты: \( F'(x) = f(x) \). Ответ: Да, является.