Решение задач по геометрии: ответы и решения

Задача 1. Дано: \( \triangle CDE \), \( \angle C = 60^\circ \), \( CD = 6 \), \( CE = 8 \). Найти: \( S_{CDE} \). Решение: Площадь треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot CE \cdot \sin \angle C \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \] Ответ: \( 12\sqrt{3} \). Задача 2. Дано: \( \triangle MNK \), \( MN = NK = \sqrt{3} \), \( \angle N = 120^\circ \). Найти: \( P_{MNK} \). Решение: По теореме косинусов найдем основание \( MK \): \[ MK^2 = MN^2 + NK^2 - 2 \cdot MN \cdot NK \cdot \cos 120^\circ \] \[ MK^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ MK^2 = 3 + 3 + 3 = 9 \Rightarrow MK = 3 \] Периметр: \[ P = MN + NK + MK = \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3 = 2\sqrt{3} + 3 \] Ответ: \( 2\sqrt{3} + 3 \). Задача 3. Дано: стороны треугольника \( a = 6 \), \( b = 7 \), \( c = 8 \). Найти: \( \cos \gamma \) (против стороны \( c = 8 \)). Решение: По теореме косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma \] \[ 8^2 = 6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \cos \gamma \] \[ 64 = 36 + 49 - 84 \cdot \cos \gamma \] \[ 84 \cdot \cos \gamma = 85 - 64 \] \[ 84 \cdot \cos \gamma = 21 \Rightarrow \cos \gamma = \frac{21}{84} = \frac{1}{4} = 0,25 \] Ответ: \( 0,25 \). Задача 4. Дано: \( \triangle MNK \), \( MN = NK = 2 \), \( \angle N = 60^\circ \). \( NP \) — биссектриса. Так как \( MN = NK \) и \( \angle N = 60^\circ \), треугольник равносторонний. Все стороны равны 2, все углы \( 60^\circ \). а) \( \vec{MK} \cdot \vec{MK} = |\vec{MK}|^2 = 2^2 = 4 \). б) \( \vec{NP} \cdot \vec{NK} \). Длина биссектрисы (высоты) \( NP = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \). Угол между \( \vec{NP} \) и \( \vec{NK} \) равен \( 30^\circ \). \[ \vec{NP} \cdot \vec{NK} = \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos 30^\circ = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \]. в) \( \vec{KM} \cdot \vec{MK} \). Векторы противоположны, угол \( 180^\circ \). \[ \vec{KM} \cdot \vec{MK} = 2 \cdot 2 \cdot \cos 180^\circ = 4 \cdot (-1) = -4 \]. Ответ: а) 4; б) 3; в) -4. Задача 5. Дано: \( \vec{a}\{-4; 5\} \), \( \vec{b}\{5; -4\} \). Найти: \( \cos \alpha \). Решение: \[ \cos \alpha = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}} \] \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = -4 \cdot 5 + 5 \cdot (-4) = -20 - 20 = -40 \] \[ |\vec{a}| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \] \[ |\vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \] \[ \cos \alpha = \frac{-40}{\sqrt{41} \cdot \sqrt{41}} = -\frac{40}{41} \] Ответ: \( -\frac{40}{41} \).