Решение неравенств №74 (5 и 6)

Представляю решение задач с доски, оформленное для записи в тетрадь. № 74 5) \( 4 \cdot 0,5^{x(x+3)} < 0,25^{2x} \) Приведем к основанию 2: \( 2^2 \cdot (2^{-1})^{x^2+3x} < (2^{-2})^{2x} \) \( 2^{2 - x^2 - 3x} < 2^{-4x} \) Так как основание \( 2 > 1 \), знак неравенства сохраняется: \( 2 - x^2 - 3x < -4x \) \( -x^2 + x + 2 < 0 \) \( x^2 - x - 2 > 0 \) Корни уравнения \( x^2 - x - 2 = 0 \): \( x_1 = 2, x_2 = -1 \). Ответ: \( x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty) \) 6) \( (0,3)^{\frac{x^2-8}{x}} \geq 11\frac{1}{9} \) Заметим, что \( 0,3 = \frac{3}{10} \), а \( 11\frac{1}{9} = \frac{100}{9} = (\frac{10}{3})^2 = (\frac{3}{10})^{-2} \). \( (0,3)^{\frac{x^2-8}{x}} \geq (0,3)^{-2} \) Так как основание \( 0,3 < 1 \), знак неравенства меняется: \( \frac{x^2-8}{x} \leq -2 \) \( \frac{x^2-8+2x}{x} \leq 0 \) \( \frac{x^2+2x-8}{x} \leq 0 \) Корни числителя: \( x = -4, x = 2 \). Корень знаменателя: \( x = 0 \). Методом интервалов: \( x \in (-\infty; -4] \cup (0; 2] \) Ответ: \( x \in (-\infty; -4] \cup (0; 2] \) 7) \( 2 \cdot 8^{\frac{1}{x}} \leq (\frac{1}{2})^{1-x} \) Приведем к основанию 2: \( 2^1 \cdot 2^{\frac{3}{x}} \leq 2^{-(1-x)} \) \( 2^{1 + \frac{3}{x}} \leq 2^{x-1} \) \( 1 + \frac{3}{x} \leq x - 1 \) \( \frac{x+3-x^2+x}{x} \leq 0 \) \( \frac{-x^2+2x+3}{x} \leq 0 \) \( \frac{x^2-2x-3}{x} \geq 0 \) Корни числителя: \( x = 3, x = -1 \). Корень знаменателя: \( x = 0 \). Ответ: \( x \in [-1; 0) \cup [3; +\infty) \) 8) \( (\frac{\pi}{4})^{1+\frac{4}{x+2}} \geq (\frac{\pi}{4})^{\frac{9}{x+3}} \) Так как \( \pi \approx 3,14 \), то \( \frac{\pi}{4} < 1 \). Знак неравенства меняется: \( 1 + \frac{4}{x+2} \leq \frac{9}{x+3} \) \( \frac{x+2+4}{x+2} - \frac{9}{x+3} \leq 0 \) \( \frac{x+6}{x+2} - \frac{9}{x+3} \leq 0 \) \( \frac{(x+6)(x+3) - 9(x+2)}{(x+2)(x+3)} \leq 0 \) \( \frac{x^2+9x+18-9x-18}{(x+2)(x+3)} \leq 0 \) \( \frac{x^2}{(x+2)(x+3)} \leq 0 \) Числитель \( x^2 \geq 0 \) всегда. Неравенство верно, если \( (x+2)(x+3) < 0 \) или \( x = 0 \). Ответ: \( x \in (-3; -2) \cup \{0\} \) № 75 3) \( 5^{-2x-4} - 5^{-2x-5} - 2 \cdot 5^{-2x-6} \leq 2 \cdot 3^{-2x-4} \) Вынесем общий множитель в левой части: \( 5^{-2x-6} \cdot (5^2 - 5^1 - 2) \leq 2 \cdot 3^{-2x-4} \) \( 5^{-2x-6} \cdot (25 - 5 - 2) \leq 2 \cdot 3^{-2x-4} \) \( 5^{-2x-6} \cdot 18 \leq 2 \cdot 3^{-2x-4} \) Разделим на 2: \( 9 \cdot 5^{-2x-6} \leq 3^{-2x-4} \) \( 3^2 \cdot 5^{-2x-6} \leq 3^{-2x-4} \) \( 5^{-2x-6} \leq 3^{-2x-6} \) Разделим на \( 3^{-2x-6} > 0 \): \( (\frac{5}{3})^{-2x-6} \leq 1 \) \( (\frac{5}{3})^{-2x-6} \leq (\frac{5}{3})^0 \) \( -2x - 6 \leq 0 \) \( -2x \leq 6 \) \( x \geq -3 \) Ответ: \( x \in [-3; +\infty) \) 4) \( 10^x - 4 \cdot 5^x - 125 \cdot 2^x + 500 \geq 0 \) Разложим на множители методом группировки: \( (2^x \cdot 5^x - 4 \cdot 5^x) - (125 \cdot 2^x - 500) \geq 0 \) \( 5^x(2^x - 4) - 125(2^x - 4) \geq 0 \) \( (2^x - 4)(5^x - 125) \geq 0 \) \( (2^x - 2^2)(5^x - 5^3) \geq 0 \) Рассмотрим знаки множителей: 1. \( x \geq 3 \): оба множителя \( \geq 0 \), верно. 2. \( 2 \leq x < 3 \): первый \( \geq 0 \), второй \( < 0 \), произведение \( \leq 0 \). 3. \( x \leq 2 \): оба множителя \( \leq 0 \), произведение \( \geq 0 \), верно. Ответ: \( x \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty) \) № 76 3) \( 3 \cdot (\sqrt{2})^x - 7 \cdot 2^{\frac{x}{4}} - 20 \geq 0 \) Заметим, что \( (\sqrt{2})^x = 2^{\frac{x}{2}} \). Пусть \( 2^{\frac{x}{4}} = t \), где \( t > 0 \). Тогда \( 2^{\frac{x}{2}} = t^2 \). \( 3t^2 - 7t - 20 \geq 0 \) Находим корни \( 3t^2 - 7t - 20 = 0 \): \( D = 49 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 49 + 240 = 289 = 17^2 \) \( t_1 = \frac{7+17}{6} = 4 \); \( t_2 = \frac{7-17}{6} = -\frac{5}{3} \) Так как \( t > 0 \), то \( t \geq 4 \). \( 2^{\frac{x}{4}} \geq 2^2 \) \( \frac{x}{4} \geq 2 \) \( x \geq 8 \) Ответ: \( x \in [8; +\infty) \) 4) \( 9^{x+1} + 26 \cdot 3^x - 3 < 0 \) \( 9 \cdot (3^x)^2 + 26 \cdot 3^x - 3 < 0 \) Пусть \( 3^x = t \), \( t > 0 \). \( 9t^2 + 26t - 3 < 0 \) Находим корни \( 9t^2 + 26t - 3 = 0 \): \( D = 26^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-3) = 676 + 108 = 784 = 28^2 \) \( t_1 = \frac{-26+28}{18} = \frac{1}{9} \); \( t_2 = \frac{-26-28}{18} = -3 \) Решение неравенства для \( t \): \( -3 < t < \frac{1}{9} \). С учетом \( t > 0 \): \( 0 < t < \frac{1}{9} \). \( 3^x < 3^{-2} \) \( x < -2 \) Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \)