Решение задач: Теорема Виета. Вариант 2

Вариант 2 Задание 1. Для решения используем теорему Виета. Для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) сумма корней \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), произведение \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). а) \(x^2 - 17x + 60 = 0\) Сумма: \(x_1 + x_2 = 17\) Произведение: \(x_1 \cdot x_2 = 60\) б) \(x^2 + 3x - 40 = 0\) Сумма: \(x_1 + x_2 = -3\) Произведение: \(x_1 \cdot x_2 = -40\) в) \(5x^2 + x - 3 = 0\) Сумма: \(x_1 + x_2 = -\frac{1}{5} = -0,2\) Произведение: \(x_1 \cdot x_2 = -\frac{3}{5} = -0,6\) г) \(4x^2 - 5x = 0\) Сумма: \(x_1 + x_2 = \frac{5}{4} = 1,25\) Произведение: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{0}{4} = 0\) Задание 2. Составим уравнение по корням \(x_1 = -1, x_2 = 3\). Используем формулу \(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0\). 1) \(x_1 + x_2 = -1 + 3 = 2\) 2) \(x_1 \cdot x_2 = -1 \cdot 3 = -3\) Уравнение: \(x^2 - 2x - 3 = 0\) Задание 3. Дано: \(7x^2 - 11x - 6 = 0\), \(x_1 = 2\). Найти \(x_2\). По теореме Виета: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\) \[2 \cdot x_2 = -\frac{6}{7}\] \[x_2 = -\frac{6}{7} : 2\] \[x_2 = -\frac{3}{7}\] Ответ: \(-\frac{3}{7}\) Задание 4. Если произведение корней \(x_1 \cdot x_2 < 0\), то корни имеют разные знаки. Если \(x_1 \cdot x_2 > 0\), то знаки одинаковые (определяются по сумме). а) \(x^2 - 13x - 11 = 0\). Произведение \(-11 < 0\). Корни имеют разные знаки. б) \(5y^2 + 17y - 93 = 0\). Произведение \(-\frac{93}{5} < 0\). Корни имеют разные знаки. в) \(3x^2 - \sqrt{3}x - 3\sqrt{2} = 0\). Произведение \(-\frac{3\sqrt{2}}{3} = -\sqrt{2} < 0\). Корни имеют разные знаки. Задание 5. а) \(y^2 - 5y + 6 = 0\) Подбором по теореме Виета (\(y_1 + y_2 = 5, y_1 \cdot y_2 = 6\)): \(y_1 = 2, y_2 = 3\) б) \(c^2 - 8c - 9 = 0\) Подбором (\(c_1 + c_2 = 8, c_1 \cdot c_2 = -9\)): \(c_1 = 9, c_2 = -1\) Задание 6. Пусть \(a\) и \(b\) — стороны прямоугольника. Периметр \(P = 2(a + b) = 94\), значит \(a + b = 47\). Площадь \(S = a \cdot b = 480\). Составим квадратное уравнение по теореме Виета: \[x^2 - 47x + 480 = 0\] Найдем дискриминант: \[D = (-47)^2 - 4 \cdot 480 = 2209 - 1920 = 289 = 17^2\] \[x_1 = \frac{47 + 17}{2} = \frac{64}{2} = 32\] \[x_2 = \frac{47 - 17}{2} = \frac{30}{2} = 15\] Стороны равны 32 дм и 15 дм. Ответ: 32 дм, 15 дм.