Решение задач по геометрии 8 класс

Ниже представлены решения задач с карточки, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: треугольник ABC, \( AC \perp BE \), \( AC = 4 \), \( BE = 3 \). Найти \( AB = x \). Решение: В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора: \[ x = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] Ответ: \( x = 5 \). Задача 2. Дано: треугольник ABC, \( AD \perp BC \), \( AD = 1 \), \( DC = 1 \). Найти \( AB = x \). Решение: В прямоугольном треугольнике ADC катеты равны, значит он равнобедренный. Гипотенуза \( AC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \). Однако на чертеже \( x \) — это сторона AB. Если треугольник ABC равнобедренный (\( BD = DC \)), то \( x = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \). Ответ: \( x = \sqrt{2} \). Задача 3. Дано: треугольник ABC, \( AD \perp BC \), \( AD = 3 \), \( DC = 4 \). Найти \( BC = x \). Решение: По теореме Пифагора для треугольника ADC: \( AC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \). Если треугольник ABC прямоугольный (\( \angle A = 90^\circ \)), то по свойству высоты: \( AD^2 = BD \cdot DC \). \[ 3^2 = BD \cdot 4 \Rightarrow BD = 9 / 4 = 2,25 \] \[ x = BD + DC = 2,25 + 4 = 6,25 \] Ответ: \( x = 6,25 \). Задача 4. Дано: треугольник MPN, \( \angle M = 20^\circ \), \( \angle P = 70^\circ \). Найти \( PN = x \). Решение: Сумма углов треугольника \( 180^\circ \). \( \angle N = 180^\circ - (70^\circ + 20^\circ) = 90^\circ \). Треугольник прямоугольный. Если гипотенуза \( MP = a \), то: \[ x = a \cdot \cos(70^\circ) \text{ или } x = a \cdot \sin(20^\circ) \] (На фото значение стороны \( a \) неразборчиво, подставьте его в формулу). Задача 5. Дано: трапеция ABCD, \( \angle C = 45^\circ \), \( \angle D = 135^\circ \), высота \( h = 6 \). Найти \( CD = x \). Решение: Проведем высоту из вершины C. Образуется прямоугольный треугольник с углом \( 45^\circ \). \[ x = \frac{h}{\sin(45^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{2}/2} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} \] Ответ: \( x = 6\sqrt{2} \). Задача 6. Дано: \( \angle M = 135^\circ \), \( \angle K = 135^\circ \), сторона \( 6 \). Найти \( x \). Решение: Фигура является параллелограммом. Сумма углов при боковой стороне \( 180^\circ \). Острый угол равен \( 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \). \[ x = 6 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \] Ответ: \( x = 3\sqrt{2} \). Задача 10. Дано: прямоугольник ABCD, \( AB = 6 \), \( AD = 4 \). Найти диагональ \( AC = x \). Решение: По теореме Пифагора: \[ x = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \] Ответ: \( x = 2\sqrt{13} \). Задача 11. Дано: ромб ABCD, диагонали \( AC = 6 \), \( BD = 8 \). Найти сторону \( AB = x \). Решение: Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Катеты прямоугольного треугольника равны \( 3 \) и \( 4 \). \[ x = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \] Ответ: \( x = 5 \). Задача 12. Дано: квадрат ABCD, диагональ \( d = 6\sqrt{2} \). Найти сторону \( x \). Решение: В квадрате \( d = x\sqrt{2} \). \[ 6\sqrt{2} = x\sqrt{2} \Rightarrow x = 6 \] Ответ: \( x = 6 \). Задача 16. Дано: окружность, вписанный угол опирается на диаметр. Катеты \( 4 \) и \( 3 \). Найти диаметр \( x \). Решение: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен \( 90^\circ \). По теореме Пифагора: \[ x = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \] Ответ: \( x = 5 \). Задача 17. Дано: касательная AB, радиус \( OB = 3 \), отрезок \( OA = 5 \) (так как \( 3 + 2 \)). Найти \( AB = x \). Решение: Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. \[ x = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = 4 \] Ответ: \( x = 4 \).