Решение задачи: определение массы льда для охлаждения воды

Ниже представлено подробное решение всех задач из списка в виде, удобном для переписывания в школьную тетрадь. Задача 1 Дано: \(m_в = 1,5\) кг \(t_в = 30 ^\circ C\) \(t_л = 0 ^\circ C\) \(c_в = 4200\) Дж/(кг\(\cdot ^\circ C\)) \(\lambda = 3,4 \cdot 10^5\) Дж/кг Найти: \(m_л\) — ? Решение: Чтобы лед полностью растаял, вода должна отдать ему теплоту при охлаждении до \(0 ^\circ C\). Количество теплоты, отданное водой: \[Q_{отд} = c_в m_в (t_в - t_л)\] Количество теплоты, необходимое для плавления льда: \[Q_{пол} = \lambda m_л\] По уравнению теплового баланса \(Q_{отд} = Q_{пол}\): \[c_в m_в (t_в - t_л) = \lambda m_л\] Отсюда масса льда: \[m_л = \frac{c_в m_в (t_в - t_л)}{\lambda}\] \[m_л = \frac{4200 \cdot 1,5 \cdot (30 - 0)}{3,4 \cdot 10^5} \approx 0,556 \text{ кг}\] Ответ: \(m_л \approx 0,556\) кг. Задача 2 Дано: \(m_н = 1\) кг \(q = 4,4 \cdot 10^7\) Дж/кг (нефть) \(\eta = 80\% = 0,8\) \(t_1 = 0 ^\circ C\) \(t_{пл} = 327 ^\circ C\) (свинец) \(c_{св} = 130\) Дж/(кг\(\cdot ^\circ C\)) \(\lambda_{св} = 2,5 \cdot 10^4\) Дж/кг Найти: \(m_{св}\) — ? Решение: Теплота от сгорания нефти: \(Q_{полн} = q m_н\). Полезная теплота: \(Q_{полез} = \eta Q_{полн} = \eta q m_н\). Теплота на нагрев и плавление свинца: \[Q_{полез} = c_{св} m_{св} (t_{пл} - t_1) + \lambda_{св} m_{св}\] \[\eta q m_н = m_{св} (c_{св} (t_{пл} - t_1) + \lambda_{св})\] \[m_{св} = \frac{\eta q m_н}{c_{св} (t_{пл} - t_1) + \lambda_{св}}\] \[m_{св} = \frac{0,8 \cdot 4,4 \cdot 10^7 \cdot 1}{130 \cdot (327 - 0) + 2,5 \cdot 10^4} = \frac{35200000}{42510 + 25000} \approx 521,4 \text{ кг}\] Ответ: \(m_{св} \approx 521,4\) кг. Задача 3 Дано: \(m_л = 270 \text{ г} = 0,27\) кг \(t_л = 0 ^\circ C\) \(t_{св} = 400 ^\circ C\) \(t_{кон} = 0 ^\circ C\) \(c_{св} = 130\) Дж/(кг\(\cdot ^\circ C\)) \(\lambda_л = 3,4 \cdot 10^5\) Дж/кг Найти: \(m_{св}\) — ? Решение: Теплота, отданная свинцом при охлаждении: \(Q_{отд} = c_{св} m_{св} (t_{св} - t_{кон})\). Теплота, полученная льдом для плавления: \(Q_{пол} = \lambda_л m_л\). Уравнение баланса: \(c_{св} m_{св} t_{св} = \lambda_л m_л\). \[m_{св} = \frac{\lambda_л m_л}{c_{св} t_{св}}\] \[m_{св} = \frac{3,4 \cdot 10^5 \cdot 0,27}{130 \cdot 400} = \frac{91800}{52000} \approx 1,765 \text{ кг}\] Ответ: \(m_{св} \approx 1,765\) кг. Задача 4 Дано: \(m_л = 100 \text{ г} = 0,1\) кг \(t_л = 0 ^\circ C\) \(t_п = 100 ^\circ C\) \(L = 2,3 \cdot 10^6\) Дж/кг \(\lambda = 3,4 \cdot 10^5\) Дж/кг Найти: \(m_{общ}\) — ? Решение: Для плавления льда нужно \(Q_1 = \lambda m_л = 3,4 \cdot 10^5 \cdot 0,1 = 34000\) Дж. Эту энергию дает пар при конденсации и охлаждении. Но по условию "как только лед растает", значит пар может только начать конденсироваться. Масса сконденсированного пара: \(m_п = \frac{Q_1}{L + c_в(100-0)}\). Однако обычно в таких задачах считают, что пар просто конденсируется. Если пар только конденсируется: \(m_п = \frac{Q_1}{L} = \frac{34000}{2,3 \cdot 10^6} \approx 0,0148\) кг. Общая масса воды: \(m_{общ} = m_л + m_п = 0,1 + 0,0148 = 0,1148\) кг. Ответ: \(m_{общ} \approx 115\) г. Задача 5 Дано: \(t_л = 0 ^\circ C\) \(\rho_{ал} = 2700 \text{ кг/м}^3\) \(\rho_л = 900 \text{ кг/м}^3\) \(c_{ал} = 920\) Дж/(кг\(\cdot ^\circ C\)) \(\lambda_л = 3,4 \cdot 10^5\) Дж/кг Найти: \(t_{куб}\) — ? Решение: Чтобы куб полностью погрузился, он должен расплавить объем льда, равный своему объему \(V\). Масса расплавленного льда: \(m_л = \rho_л V\). Теплота для плавления: \(Q_{пол} = \lambda_л \rho_л V\). Теплота, которую отдаст куб: \(Q_{отд} = c_{ал} m_{ал} (t_{куб} - 0) = c_{ал} \rho_{ал} V t_{куб}\). Приравниваем: \(\lambda_л \rho_л V = c_{ал} \rho_{ал} V t_{куб}\). \[t_{куб} = \frac{\lambda_л \rho_л}{c_{ал} \rho_{ал}}\] \[t_{куб} = \frac{3,4 \cdot 10^5 \cdot 900}{920 \cdot 2700} = \frac{3,4 \cdot 10^5}{920 \cdot 3} \approx 123,2 ^\circ C\] Ответ: \(t_{куб} \approx 123,2 ^\circ C\). Задача 6 Дано: \(m_{кал} = 0,1\) кг, \(c_{лат} = 380\) Дж/(кг\(\cdot ^\circ C\)) \(m_{сн} = 0,15\) кг, \(c_{л} = 2100\) Дж/(кг\(\cdot ^\circ C\)), \(\lambda = 3,4 \cdot 10^5\) Дж/кг \(t_{сн} = -20 ^\circ C\), \(t_{кон} = 0 ^\circ C\) \(t_п = 100 ^\circ C\), \(L = 2,3 \cdot 10^6\) Дж/кг, \(c_в = 4200\) Дж/(кг\(\cdot ^\circ C\)) Найти: \(m_п\) — ? Решение: Нужно нагреть калориметр и снег до \(0 ^\circ C\) и расплавить снег: \[Q_{пол} = (c_{лат} m_{кал} + c_л m_{сн})(0 - t_{сн}) + \lambda m_{сн}\] \[Q_{пол} = (380 \cdot 0,1 + 2100 \cdot 0,15) \cdot 20 + 3,4 \cdot 10^5 \cdot 0,15 = 7060 + 51000 = 58060 \text{ Дж}\] Теплота от пара (конденсация и охлаждение воды из пара до \(0 ^\circ C\)): \[Q_{отд} = m_п (L + c_в (100 - 0)) = m_п (2,3 \cdot 10^6 + 4,2 \cdot 10^5) = 2,72 \cdot 10^6 m_п\] \[m_п = \frac{58060}{2,72 \cdot 10^6} \approx 0,0213 \text{ кг}\] Ответ: \(m_п \approx 21,3\) г. Задача 7 Дано: \(m_л = 5\) кг, \(m_в = 15\) кг \(t_1 = 0 ^\circ C\), \(t_2 = 80 ^\circ C\), \(t_п = 100 ^\circ C\) \(\lambda = 3,4 \cdot 10^5\) Дж/кг, \(L = 2,3 \cdot 10^6\) Дж/кг, \(c_в = 4200\) Дж/(кг\(\cdot ^\circ C\)) Найти: \(m_п\) — ? Решение: Нужно расплавить лед и нагреть всю воду (старую и из льда) до \(80 ^\circ C\): \[Q_{пол} = \lambda m_л + c_в (m_л + m_в) (t_2 - t_1)\] \[Q_{пол} = 3,4 \cdot 10^5 \cdot 5 + 4200 \cdot 20 \cdot 80 = 1,7 \cdot 10^6 + 6,72 \cdot 10^6 = 8,42 \cdot 10^6 \text{ Дж}\] Теплота от пара: \[Q_{отд} = m_п (L + c_в (t_п - t_2)) = m_п (2,3 \cdot 10^6 + 4200 \cdot 20) = 2,384 \cdot 10^6 m_п\] \[m_п = \frac{8,42 \cdot 10^6}{2,384 \cdot 10^6} \approx 3,53 \text{ кг}\] Ответ: \(m_п \approx 3,53\) кг. Задача 8 Дано: \(m_л = 5\) кг, \(t_л = -30 ^\circ C\) \(m_в = 20\) кг, \(t_в = 70 ^\circ C\) \(c_л = 2100\) Дж/(кг\(\cdot ^\circ C\)), \(\lambda = 3,4 \cdot 10^5\) Дж/кг, \(c_в = 4200\) Дж/(кг\(\cdot ^\circ C\)) Найти: \(\theta\) (конечная температура) — ? Решение: Теплота на нагрев и плавление льда: \[Q_{л} = c_л m_л (0 - t_л) + \lambda m_л = 2100 \cdot 5 \cdot 30 + 3,4 \cdot 10^5 \cdot 5 = 315000 + 1700000 = 2,015 \cdot 10^6 \text{ Дж}\] Теплота, которую может отдать вода при охлаждении до \(0 ^\circ C\): \[Q_{в} = c_в m_в (t_в - 0) = 4200 \cdot 20 \cdot 70 = 5,88 \cdot 10^6 \text{ Дж}\] Так как \(Q_в > Q_л\), лед расплавится и вода нагреется до \(\theta\). Уравнение баланса: \[c_в m_в (t_в - \theta) = Q_л + c_в m_л (\theta - 0)\] \[c_в m_в t_в - c_в m_в \theta = Q_л + c_в m_л \theta\] \[\theta (c_в m_в + c_в m_л) = c_в m_в t_в - Q_л\] \[\theta = \frac{4200 \cdot 20 \cdot 70 - 2,015 \cdot 10^6}{4200 \cdot (20 + 5)} = \frac{5,88 \cdot 10^6 - 2,015 \cdot 10^6}{105000} = \frac{3,865 \cdot 10^6}{105000} \approx 36,8 ^\circ C\] Ответ: \(\theta \approx 36,8 ^\circ C\).