Решение задач по тригонометрии

Тригонометрия: 1. Упростите выражение: \( \frac{1 - \sin^2 x}{\cos^2 x + 1 - \sin^2 x} \) Решение: Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), откуда \( 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \). Подставим это в выражение: \[ \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x + \cos^2 x} = \frac{\cos^2 x}{2\cos^2 x} = \frac{1}{2} = 0,5 \] Ответ: 0,5. 2. Найдите \( \sin \alpha \), если \( \cos \alpha = 0,6 \) и \( \alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi) \). Решение: Из основного тождества: \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \). \( \sin^2 \alpha = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64 \). Так как угол \( \alpha \) находится в IV четверти, синус там отрицательный. \( \sin \alpha = -\sqrt{0,64} = -0,8 \). Ответ: -0,8. 3. Найдите \( \text{tg}^2 \alpha \), если \( 6\sin^2 \alpha - 3\cos^2 \alpha = 5 \). Решение: Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 \alpha \) (при условии \( \cos \alpha \neq 0 \)): \[ \frac{6\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \frac{3\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{5}{\cos^2 \alpha} \] \[ 6\text{tg}^2 \alpha - 3 = 5(1 + \text{tg}^2 \alpha) \] \[ 6\text{tg}^2 \alpha - 3 = 5 + 5\text{tg}^2 \alpha \] \[ 6\text{tg}^2 \alpha - 5\text{tg}^2 \alpha = 5 + 3 \] \[ \text{tg}^2 \alpha = 8 \] Ответ: 8. Корни, степени: 1. Вычислите: \( \frac{\sqrt{36} \cdot \sqrt[3]{8}}{\sqrt[4]{16}} \) Решение: \[ \frac{6 \cdot 2}{2} = 6 \] Ответ: 6. 2. Вычислите: \( \sqrt[3]{0,027} + \sqrt[4]{0,0016} \) Решение: \[ 0,3 + 0,2 = 0,5 \] Ответ: 0,5. Рациональные уравнения: 1. Решите уравнение: \( (x-2)(x-3)(x-4) = (x-2)(x-3)(x-5) \) Решение: Перенесем всё в левую часть: \[ (x-2)(x-3)(x-4) - (x-2)(x-3)(x-5) = 0 \] Вынесем общий множитель \( (x-2)(x-3) \): \[ (x-2)(x-3) \cdot ((x-4) - (x-5)) = 0 \] \[ (x-2)(x-3) \cdot (x - 4 - x + 5) = 0 \] \[ (x-2)(x-3) \cdot 1 = 0 \] Отсюда \( x-2 = 0 \) или \( x-3 = 0 \). \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 3 \). Ответ: 2; 3. 2. Решите уравнение: \( (x+5)^3 = 25(x+5) \) Решение: \[ (x+5)^3 - 25(x+5) = 0 \] Вынесем \( (x+5) \): \[ (x+5)((x+5)^2 - 25) = 0 \] 1) \( x+5 = 0 \Rightarrow x_1 = -5 \) 2) \( (x+5)^2 = 25 \Rightarrow x+5 = 5 \) или \( x+5 = -5 \) \( x_2 = 0 \), \( x_3 = -10 \). Ответ: -10; -5; 0. Показательные уравнения: 1. Решите уравнение: \( 5^{3x-1} = 0,2 \) Решение: Так как \( 0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1} \): \[ 5^{3x-1} = 5^{-1} \] \[ 3x - 1 = -1 \] \[ 3x = 0 \Rightarrow x = 0 \] Ответ: 0. 2. Решите уравнение: \( (\frac{1}{16})^x = 8 \) Решение: Приведем к основанию 2: \[ (2^{-4})^x = 2^3 \] \[ 2^{-4x} = 2^3 \] \[ -4x = 3 \Rightarrow x = -0,75 \] Ответ: -0,75. Иррациональные уравнения: 1. Решите уравнение: \( \sqrt{66 - 5x} = 9 \) Решение: Возведем в квадрат: \[ 66 - 5x = 81 \] \[ -5x = 81 - 66 \] \[ -5x = 15 \Rightarrow x = -3 \] Проверка: \( \sqrt{66 - 5(-3)} = \sqrt{81} = 9 \) (верно). Ответ: -3. 2. Решите уравнение: \( \sqrt{\frac{5}{3x-7}} = \frac{1}{2} \) Решение: Возведем в квадрат: \[ \frac{5}{3x-7} = \frac{1}{4} \] По свойству пропорции: \[ 3x - 7 = 20 \] \[ 3x = 27 \Rightarrow x = 9 \] Ответ: 9. Логарифмические уравнения: 3. Решите уравнение: \( \log_3 x = 2 \) Решение: По определению логарифма: \[ x = 3^2 = 9 \] Ответ: 9. 4. Решите уравнение: \( \lg x = 2 \) Решение: Основание десятичного логарифма равно 10: \[ x = 10^2 = 100 \] Ответ: 100.