Решение задач Варианта 4: Подробное объяснение

Ниже представлено подробное решение задач Варианта 4, оформленное для тетради с разделами Дано, Решение и пояснениями к рисункам. Вариант 4 Задача 1 Дано: \( \Delta d = \frac{\lambda}{4} \) Найти: \( \Delta \varphi \) — ? Решение: Разность фаз \( \Delta \varphi \) и разность хода \( \Delta d \) связаны соотношением: \[ \Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta d \] Подставим значение из условия: \[ \Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \] В градусах это составляет \( 90^\circ \). Ответ: 2) \( 90^\circ \). Рисунок: Можно схематично изобразить две синусоиды, сдвинутые друг относительно друга на четверть периода. Задача 2 Решение: По определению, гармоническими называются колебания, при которых физическая величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Ответ: 1) гармоническими. Рисунок: График функции \( y = \sin(x) \) или \( y = \cos(x) \). Задача 3 Решение: При сложении двух гармонических колебаний одного направления и частоты амплитуда максимальна, если они происходят в одной фазе. Это значит, что разность фаз \( \Delta \varphi = 0 \) (или кратна \( 2\pi \)). Ответ: 2) 0. Рисунок: Две одинаковые волны, у которых пики и впадины совпадают. Задача 4 Дано: \( \xi = 0,01 \sin 10^3 (t - \frac{x}{500}) \) Найти: \( \lambda \) — ? Решение: Сравним с общим уравнением волны: \( \xi = A \sin \omega (t - \frac{x}{v}) \). Из уравнения видно: \( \omega = 10^3 \) рад/с, \( v = 500 \) м/с. Длина волны вычисляется по формуле: \[ \lambda = v \cdot T = v \cdot \frac{2\pi}{\omega} \] \[ \lambda = 500 \cdot \frac{2 \cdot 3,14}{10^3} = \frac{3140}{1000} = 3,14 \text{ м} \] Ответ: 2) 3,14. Рисунок: Схема бегущей волны (синусоида) с обозначением расстояния \( \lambda \) между соседними гребнями. Задача 5 Решение: Циклическая частота \( \omega \) связана с периодом \( T \) формулой \( \omega = \frac{2\pi}{T} \). Она показывает число полных колебаний, совершаемых за \( 2\pi \) секунд. Ответ: 4) частота, равная числу колебаний за \( 2\pi \) секунд. Задача 6 Дано: \( L_2 = \frac{L_1}{3} \), \( C_2 = 3C_1 \) Найти: \( \frac{T_2}{T_1} \) — ? Решение: Формула Томсона для периода: \( T = 2\pi \sqrt{LC} \). \[ T_2 = 2\pi \sqrt{L_2 C_2} = 2\pi \sqrt{\frac{L_1}{3} \cdot 3C_1} = 2\pi \sqrt{L_1 C_1} = T_1 \] Период не изменится. Ответ: 3) не изменится. Рисунок: Схема колебательного контура (катушка индуктивности и конденсатор, соединенные параллельно). Задача 7 Решение: В реальном контуре энергия расходуется на нагрев проводов (количество теплоты \( Q \)) и на излучение электромагнитных волн (\( W_{изл} \)). Полная энергия в начальный момент равна сумме оставшейся энергии и потерь. Ответ: 4) \( \frac{CU_{max}^2}{2} = \frac{LI^2}{2} + Q + W_{изл} \). Задача 8 Решение: Направление распространения волны определяется вектором Пойнтинга \( \vec{S} \). Он направлен перпендикулярно плоскости векторов \( \vec{E} \) и \( \vec{H} \). По правилу правого винта (от \( E \) к \( H \)), если \( E \) вверх, а \( H \) вправо, то волна идет "от нас" вглубь рисунка. Это направление 2. Ответ: 2) 2. Рисунок: Перерисуйте оси координат и векторы \( \vec{E} \) и \( \vec{H} \) из задания. Задача 9 Дано: \( n = 100 \), \( h_1 = 3 \) м, \( t = 24 \text{ ч} = 86400 \text{ с} \) Найти: \( \Delta t \) — ? Решение: Высота подъема \( h = n \cdot h_1 = 300 \) м. Относительное изменение хода часов при подъеме на небольшую высоту: \[ \frac{\Delta t}{t} = \frac{h}{R} \] Где \( R \approx 6,4 \cdot 10^6 \) м (радиус Земли). \[ \Delta t = 86400 \cdot \frac{300}{6,4 \cdot 10^6} \approx 4,05 \text{ с} \] Ответ: 4) 4 с. Рисунок: Схематичный рисунок Земли и часов на поверхности и на высоте \( h \). Задача 10 Решение: Явление наложения волн, при котором происходит устойчивое во времени распределение максимумов и минимумов амплитуды, называется интерференцией. Ответ: 2) интерференцией. Задача 11 Дано: \( t_1 = 10 \text{ с} \), \( \frac{A_0}{A_1} = 10 \), \( \frac{A_0}{A_2} = 100 \) Найти: \( t_2 \) — ? Решение: Закон затухания: \( A(t) = A_0 e^{-\beta t} \). Для первого случая: \( 10 = e^{\beta \cdot 10} \). Для второго случая: \( 100 = e^{\beta \cdot t_2} \). Заметим, что \( 100 = 10^2 \), значит: \[ e^{\beta \cdot t_2} = (e^{\beta \cdot 10})^2 = e^{\beta \cdot 20} \] Отсюда \( t_2 = 20 \) с. Ответ: 2) 20 с. Рисунок: График затухающих колебаний (синусоида, амплитуда которой уменьшается по экспоненте). Задача 12 Решение: Потенциальная энергия \( W_p = \frac{kx^2}{2} \). Если \( x = A \sin(2\pi \nu t) \), то \( x^2 \) содержит функцию \( \sin^2 \), которая по формулам тригонометрии преобразуется в косинус двойного угла. Следовательно, частота изменения энергии в 2 раза больше частоты колебаний тела. Ответ: 3) изменяется с частотой \( 2\nu \). Задача 13 Дано: \( t = 6 \text{ с} \), \( N = 4 \) гребня, \( L = 12 \text{ м} \) (между 1 и 3 гребнем) Найти: \( v \) — ? Решение: Между 1-м и 3-м гребнями 2 длины волны: \( 2\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 6 \) м. За 6 секунд прошло 4 гребня, что соответствует 3 полным периодам: \( 3T = 6 \Rightarrow T = 2 \) с. Скорость волны: \[ v = \frac{\lambda}{T} = \frac{6}{2} = 3 \text{ м/с} \] Ответ: 1) 3 м/с. Рисунок: Изобразите волнистую линию и отметьте гребни цифрами 1, 2, 3, 4. Задача 14 Дано: \( C = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \), \( U_{max} = 5 \text{ В} \), \( u = 3 \text{ В} \) Найти: \( W_m \) — ? Решение: Закон сохранения энергии в контуре: \( W_{полн} = W_e + W_m \). \[ \frac{CU_{max}^2}{2} = \frac{Cu^2}{2} + W_m \] \[ W_m = \frac{C}{2}(U_{max}^2 - u^2) \] \[ W_m = \frac{2 \cdot 10^{-6}}{2} (5^2 - 3^2) = 10^{-6} (25 - 9) = 16 \cdot 10^{-6} = 1,6 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \] Ответ: 1) \( 1,6 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \). Задача 15 Решение: Звуковой диапазон частот, воспринимаемый человеком, находится в пределах от 16 Гц до 20 000 Гц (20 кГц). Ответ: 3) распространяющиеся в среде упругие волны, обладающие частотами от 16 до 20 кГц.