Решение: Сложение и вычитание векторов (9 класс)

Самостоятельная работа по теме «Сложение и вычитание векторов» Вариант 1 Задание 1. Используя правило многоугольника, упростите выражение: \[ \vec{AB} - \vec{CB} - \vec{MC} + \vec{MD} - \vec{KD} \] Решение: Для упрощения заменим операцию вычитания на сложение с противоположным вектором (например, \( -\vec{CB} = \vec{BC} \)): \[ \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CM} + \vec{MD} + \vec{DK} \] По правилу многоугольника, сумма векторов, где конец предыдущего совпадает с началом следующего, равна вектору, соединяющему начало первого и конец последнего: \[ (\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CM} + \vec{MD} + \vec{DK} = \vec{AC} + \vec{CM} + \vec{MD} + \vec{DK} = \vec{AM} + \vec{MD} + \vec{DK} = \vec{AD} + \vec{DK} = \vec{AK} \] Ответ: \( \vec{AK} \). Задание 2. Постройте не нулевой вектор \( \vec{a} \), и вектор равный \( 2\vec{a} \), \( -2,5\vec{a} \), \( -4\vec{a} \). Решение (описание для тетради): 1. Начертите произвольный вектор \( \vec{a} \) (например, вправо на 2 клетки). 2. Вектор \( 2\vec{a} \) будет сонаправлен с \( \vec{a} \), но в 2 раза длиннее (4 клетки вправо). 3. Вектор \( -2,5\vec{a} \) будет направлен в противоположную сторону и будет в 2,5 раза длиннее (5 клеток влево). 4. Вектор \( -4\vec{a} \) будет направлен в противоположную сторону и будет в 4 раза длиннее (8 клеток влево). Задание 3. M, H, O, P, S — произвольные точки. Найти сумму \( \vec{MH} + \vec{PO} + \vec{SM} + \vec{HP} + \vec{OS} \). Решение: Переставим слагаемые так, чтобы конец каждого вектора был началом следующего: \[ \vec{MH} + \vec{HP} + \vec{PO} + \vec{OS} + \vec{SM} \] Применяем правило многоугольника: \[ (\vec{MH} + \vec{HP}) + \vec{PO} + \vec{OS} + \vec{SM} = \vec{MP} + \vec{PO} + \vec{OS} + \vec{SM} = \vec{MO} + \vec{OS} + \vec{SM} = \vec{MS} + \vec{SM} = \vec{MM} = \vec{0} \] Ответ: \( \vec{0} \) (нулевой вектор). Задание 4. Начертите параллелограмм ABCD и постройте векторы \( \frac{2}{3}\vec{CB} + \vec{CD} \) и \( \frac{1}{4}(\vec{BA} - \vec{BC}) \). Решение (алгоритм построения): 1. Построение \( \vec{v_1} = \frac{2}{3}\vec{CB} + \vec{CD} \): Отложите от точки C вектор, равный \( \frac{2}{3} \) стороны CB. Затем от его конца отложите вектор, равный стороне CD. Искомый вектор соединит точку C с концом второго вектора. 2. Построение \( \vec{v_2} = \frac{1}{4}(\vec{BA} - \vec{BC}) \): Заметим, что \( \vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA} \) (по правилу вычитания векторов из одной точки). Значит, нужно построить вектор \( \frac{1}{4}\vec{CA} \). Это вектор, идущий по диагонали CA из точки C, длина которого составляет четверть всей диагонали. Задание 5. Найти четырьмя разными способами сумму следующих векторов (согласно рисунку в задании). Решение: Пусть даны векторы \( \vec{x}, \vec{y}, \vec{z}, \vec{w} \). Сумма векторов \( \vec{S} = \vec{x} + \vec{y} + \vec{z} + \vec{w} \). Способы нахождения суммы: 1. Правило многоугольника: последовательно прикладывать начало каждого следующего вектора к концу предыдущего. Результат — вектор из начала первого в конец последнего. 2. Правило параллелограмма (попарно): сначала найти сумму двух векторов, затем к результату прибавить третий и так далее. 3. Координатный метод: найти координаты каждого вектора по клеткам \( (x_i, y_i) \), сложить их \( X = \sum x_i, Y = \sum y_i \) и построить итоговый вектор. 4. Группировка: сгруппировать векторы в две пары, найти суммы каждой пары отдельно, а затем сложить два полученных результирующих вектора.