Решение Задания 2: Линейное Программирование Графическим Методом

Решение Задания 2 (верхний блок) Данная задача относится к линейному программированию. Нам необходимо найти оптимальное решение графическим методом. а) Решение задачи на максимум: \[ z = 2x_1 + x_2 \to max \] при ограничениях: \[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 \le 8 \\ 3x_1 + x_2 \le 6 \\ 2x_1 - 3x_2 \ge 3 \\ x_1, x_2 \ge 0 \end{cases} \] 1. Построим область допустимых решений (ОДР). Для этого заменим неравенства на уравнения прямых: L1: \( x_1 + 2x_2 = 8 \). Точки: (0; 4) и (8; 0). L2: \( 3x_1 + x_2 = 6 \). Точки: (0; 6) и (2; 0). L3: \( 2x_1 - 3x_2 = 3 \). Точки: (1.5; 0) и (3; 1). 2. Определим полуплоскости. Так как в первых двух неравенствах знак "меньше или равно", заштриховываем области, включающие начало координат (0,0). В третьем неравенстве знак "больше или равно", проверяем точку (0,0): \( 0 \ge 3 \) — ложно, значит заштриховываем область, не содержащую (0,0). 3. Пересечение этих областей в первой четверти (\( x_1, x_2 \ge 0 \)) образует многоугольник решений. В данном случае это треугольник с вершинами: A (1.5; 0) — пересечение L3 с осью \( x_1 \). B (2; 0) — пересечение L2 с осью \( x_1 \). C — точка пересечения L2 и L3. Найдем точку C, решив систему: \[ \begin{cases} 3x_1 + x_2 = 6 \\ 2x_1 - 3x_2 = 3 \end{cases} \] Умножим первое на 3: \( 9x_1 + 3x_2 = 18 \). Сложим со вторым: \( 11x_1 = 21 \Rightarrow x_1 = \frac{21}{11} \approx 1.9 \). Тогда \( x_2 = 6 - 3 \cdot \frac{21}{11} = \frac{66 - 63}{11} = \frac{3}{11} \approx 0.27 \). 4. Вычислим значение целевой функции \( z \) в вершинах: \( z(A) = 2 \cdot 1.5 + 0 = 3 \) \( z(B) = 2 \cdot 2 + 0 = 4 \) \( z(C) = 2 \cdot \frac{21}{11} + \frac{3}{11} = \frac{42+3}{11} = \frac{45}{11} \approx 4.09 \) Ответ по пункту а): \( z_{max} = \frac{45}{11} \) при \( x_1 = \frac{21}{11}, x_2 = \frac{3}{11} \). б) Решение задачи на минимум: \[ z = 5x_1 - 3x_2 \to min \] при ограничениях: \[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 \le 10 \\ 3x_1 + x_2 \le 6 \\ 10x_1 + 6x_2 \ge 6 \\ x_1, x_2 \ge 0 \end{cases} \] 1. Построим прямые: L1: \( x_1 + 2x_2 = 10 \). Точки: (0; 5), (10; 0). L2: \( 3x_1 + x_2 = 6 \). Точки: (0; 6), (2; 0). L3: \( 10x_1 + 6x_2 = 6 \). Точки: (0; 1), (0.6; 0). 2. Анализ ОДР: Область ограничена сверху прямыми L1 и L2, а снизу прямой L3. Поскольку мы ищем минимум функции \( z = 5x_1 - 3x_2 \), нам нужно максимально увеличить \( x_2 \) и минимизировать \( x_1 \). 3. Проверим вершины ОДР на оси \( x_2 \): Точка пересечения L3 с осью \( x_2 \): (0; 1). Значение \( z = 5 \cdot 0 - 3 \cdot 1 = -3 \). Точка пересечения L1 с осью \( x_2 \): (0; 5). Значение \( z = 5 \cdot 0 - 3 \cdot 5 = -15 \). Заметим, что точка (0; 5) удовлетворяет всем условиям: \( 0 + 2 \cdot 5 \le 10 \) (верно: \( 10 \le 10 \)) \( 3 \cdot 0 + 5 \le 6 \) (верно: \( 5 \le 6 \)) \( 10 \cdot 0 + 6 \cdot 5 \ge 6 \) (верно: \( 30 \ge 6 \)) Ответ по пункту б): \( z_{min} = -15 \) при \( x_1 = 0, x_2 = 5 \).