Решение задачи с комплексными числами: Вариант II

Ниже представлено решение задач Варианта II с доски, оформленное для записи в тетрадь. Задание I (Вариант II) Дано: \( z_1 = 2 + 5i \) \( z_2 = 1 - i \) Найти: 2) \( \frac{z_1}{z_2} \) 8) \( z_1^2 - 2z_2 \) Решение: 2) Чтобы найти частное, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю число \( (1 + i) \): \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{2 + 5i}{1 - i} = \frac{(2 + 5i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{2 + 2i + 5i + 5i^2}{1^2 - i^2} \] Так как \( i^2 = -1 \), получаем: \[ \frac{2 + 7i - 5}{1 + 1} = \frac{-3 + 7i}{2} = -1,5 + 3,5i \] 8) Вычислим выражение по частям: Сначала возведем \( z_1 \) в квадрат: \[ z_1^2 = (2 + 5i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 5i + (5i)^2 = 4 + 20i + 25i^2 = 4 + 20i - 25 = -21 + 20i \] Теперь найдем разность: \[ z_1^2 - 2z_2 = (-21 + 20i) - 2(1 - i) = -21 + 20i - 2 + 2i = (-21 - 2) + (20i + 2i) = -23 + 22i \] Ответ: 2) \( -1,5 + 3,5i \); 8) \( -23 + 22i \). Задание II (Вариант II) Для чисел из задания I найти \( a \) и \( b \), для которых верно равенство: \[ \frac{z_1}{z_2} = a z_1 + b z_2 \] Решение: 1) Используем полученное ранее значение \( \frac{z_1}{z_2} = -1,5 + 3,5i \). 2) Подставим значения в уравнение: \[ -1,5 + 3,5i = a(2 + 5i) + b(1 - i) \] \[ -1,5 + 3,5i = 2a + 5ai + b - bi \] \[ -1,5 + 3,5i = (2a + b) + (5a - b)i \] 3) Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} 2a + b = -1,5 \\ 5a - b = 3,5 \end{cases} \] Сложим два уравнения системы: \[ (2a + 5a) + (b - b) = -1,5 + 3,5 \] \[ 7a = 2 \] \[ a = \frac{2}{7} \] Найдем \( b \) из первого уравнения: \[ b = -1,5 - 2a = -1,5 - 2 \cdot \frac{2}{7} = -\frac{3}{2} - \frac{4}{7} = \frac{-21 - 8}{14} = -\frac{29}{14} \] Ответ: \( a = \frac{2}{7} \), \( b = -\frac{29}{14} \). Задание III (Вариант II) Записать в алгебраической форме: \[ z = \frac{13 + 12i}{6i - 8} - \frac{(2i + 1)^2}{i + 2} \] Решение: 1) Преобразуем первую дробь (знаменатель \( -8 + 6i \)): \[ \frac{13 + 12i}{-8 + 6i} = \frac{(13 + 12i)(-8 - 6i)}{(-8 + 6i)(-8 - 6i)} = \frac{-104 - 78i - 96i - 72i^2}{(-8)^2 + 6^2} = \frac{-104 - 174i + 72}{64 + 36} = \frac{-32 - 174i}{100} = -0,32 - 1,74i \] 2) Преобразуем вторую дробь: Числитель: \( (2i + 1)^2 = 4i^2 + 4i + 1 = -4 + 4i + 1 = -3 + 4i \). Дробь: \( \frac{-3 + 4i}{2 + i} = \frac{(-3 + 4i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{-6 + 3i + 8i - 4i^2}{2^2 + 1^2} = \frac{-6 + 11i + 4}{5} = \frac{-2 + 11i}{5} = -0,4 + 2,2i \). 3) Вычтем результаты: \[ z = (-0,32 - 1,74i) - (-0,4 + 2,2i) = -0,32 - 1,74i + 0,4 - 2,2i = 0,08 - 3,94i \] Ответ: \( z = 0,08 - 3,94i \).