Решение задач 1 и 2 по Статике (Вариант 28)

Для удобства переписывания в тетрадь, решения разделены по разделам и вариантам. Решения по Статике (Вариант 28) Задача №1 Дано: \( q = 3 \, \text{кН/м} \), \( P = 10 \, \text{кН} \), \( M = 2 \, \text{кНм} \), \( \alpha = 60^\circ \). Найти: Реакции в заделке \( A \). Решение: 1. Заменяем распределенную нагрузку силой \( Q = q \cdot 2 = 6 \, \text{кН} \). Плечо силы \( Q \) относительно \( A \) равно \( 1 \, \text{м} \). 2. Составляем уравнения равновесия: \[ \sum F_x = 0: X_A - P \cdot \cos(60^\circ) = 0 \Rightarrow X_A = 10 \cdot 0.5 = 5 \, \text{кН} \] \[ \sum F_y = 0: Y_A - Q - P \cdot \sin(60^\circ) = 0 \Rightarrow Y_A = 6 + 10 \cdot 0.866 = 14.66 \, \text{кН} \] \[ \sum M_A = 0: M_A + Q \cdot 1 - M - P \cdot \sin(60^\circ) \cdot 4 - P \cdot \cos(60^\circ) \cdot 2 = 0 \] \[ M_A = -6 + 2 + 34.64 + 10 = 40.64 \, \text{кНм} \] Ответ: \( X_A = 5 \, \text{кН} \), \( Y_A = 14.66 \, \text{кН} \), \( M_A = 40.64 \, \text{кНм} \). Задача №2 Дано: \( G = 3 \, \text{кН} \), \( P = 5 \, \text{кН} \), \( M = 2 \, \text{кНм} \). Найти: Реакции опор \( A \) (шарнир) и \( B \) (стержень). Решение: 1. Натяжение нити \( T = G = 3 \, \text{кН} \). Угол нити к вертикали \( 60^\circ \). 2. Уравнение моментов относительно точки \( A \): \[ \sum M_A = 0: T \cdot \sin(60^\circ) \cdot 2 - P \cdot \cos(30^\circ) \cdot 3 + M + R_B \cdot 6 = 0 \] \[ 3 \cdot 0.866 \cdot 2 - 5 \cdot 0.866 \cdot 3 + 2 + R_B \cdot 6 = 0 \] \[ 5.196 - 12.99 + 2 + 6 R_B = 0 \Rightarrow R_B = 0.966 \, \text{кН} \] 3. Сумма сил на оси: \[ \sum F_x = 0: X_A + T \cdot \sin(60^\circ) - P \cdot \sin(30^\circ) = 0 \Rightarrow X_A = -3 \cdot 0.866 + 5 \cdot 0.5 = -0.098 \, \text{кН} \] \[ \sum F_y = 0: Y_A - T \cdot \cos(60^\circ) - P \cdot \cos(30^\circ) + R_B = 0 \] \[ Y_A = 3 \cdot 0.5 + 5 \cdot 0.866 - 0.966 = 4.864 \, \text{кН} \] Ответ: \( X_A \approx -0.1 \, \text{кН} \), \( Y_A \approx 4.86 \, \text{кН} \), \( R_B \approx 0.97 \, \text{кН} \). Решения по Кинематике (Вариант 26) Задача №1 (по описанию: скорость, ускорение, траектория) Дано: \( x = 4t + 4 \), \( y = -4/(t+1) \), \( t_1 = 2 \, \text{с} \). Решение: 1. Скорость: \[ v_x = \dot{x} = 4; \quad v_y = \dot{y} = 4/(t+1)^2 \] При \( t=2 \): \( v_x = 4 \), \( v_y = 4/9 \approx 0.44 \). \( v = \sqrt{4^2 + 0.44^2} \approx 4.02 \, \text{м/с} \). 2. Ускорение: \[ a_x = \ddot{x} = 0; \quad a_y = \ddot{y} = -8/(t+1)^3 \] При \( t=2 \): \( a_x = 0 \), \( a_y = -8/27 \approx -0.3 \). \( a = 0.3 \, \text{м/с}^2 \). 3. Траектория: Из \( x \) выразим \( t+1 = x/4 \). Подставим в \( y \): \[ y = -4 / (x/4) = -16/x \] Это гипербола. Задача №2 (Механизм с дисками) Дано: \( R_1 = 0.1 \, \text{м} \), \( R_2 = 0.4 \, \text{м} \), \( r_2 = 0.15 \, \text{м} \), \( S_3 = 10t^3 + 80t \, \text{см} \), \( t_1 = 5 \, \text{с} \). Решение: 1. Скорость груза 3: \[ v_3 = \dot{S}_3 = 30t^2 + 80 \, \text{см/с} \] При \( t=5 \): \( v_3 = 30 \cdot 25 + 80 = 830 \, \text{см/с} = 8.3 \, \text{м/с} \). 2. Угловая скорость диска 2 (нить на малом радиусе \( r_2 \)): \[ \omega_2 = v_3 / r_2 = 8.3 / 0.15 \approx 55.33 \, \text{рад/с} \] 3. Скорость точки на внешнем ободе диска 2: \[ v_{2ext} = \omega_2 \cdot R_2 = 55.33 \cdot 0.4 \approx 22.13 \, \text{м/с} \] 4. Так как диски 1 и 2 соприкасаются, \( v_1 = v_{2ext} \). Угловая скорость диска 1: \[ \omega_1 = v_1 / R_1 = 22.13 / 0.1 = 221.3 \, \text{рад/с} \] 5. Ускорение груза 3: \[ a_3 = \dot{v}_3 = 60t = 60 \cdot 5 = 300 \, \text{см/с}^2 = 3 \, \text{м/с}^2 \] Ответ: \( \omega_1 \approx 221.3 \, \text{рад/с} \), \( \omega_2 \approx 55.3 \, \text{рад/с} \).