Решение задач №2 и №3 (Вариант 26) с оформлением

Ниже представлено решение задач №2 и №3 из вашего варианта (26), оформленное для переписывания в тетрадь. Решение задачи №2 Дано: \[ R_1 = 0,1 \, \text{м} \] \[ R_2 = 0,4 \, \text{м} \] \[ r_2 = 0,15 \, \text{м} \] \[ s = 10t^3 + 80t \, \text{см} = 0,1t^3 + 0,8t \, \text{м} \] \[ t_1 = 5 \, \text{с} \] Найти: скорость и ускорение точки М в момент \( t_1 \). Решение: 1. Скорость груза 3 (она же скорость точек на ободе малого шкива 2): \[ v_3 = \dot{s} = \frac{d}{dt}(0,1t^3 + 0,8t) = 0,3t^2 + 0,8 \, (\text{м/с}) \] При \( t_1 = 5 \, \text{с} \): \[ v_3 = 0,3 \cdot 5^2 + 0,8 = 7,5 + 0,8 = 8,3 \, \text{м/с} \] 2. Угловая скорость шкива 2: \[ \omega_2 = \frac{v_3}{r_2} = \frac{8,3}{0,15} \approx 55,33 \, \text{рад/с} \] 3. Угловая скорость колеса 1 (внешнее зацепление со шкивом 2 по радиусу \( R_2 \)): Скорость в точке контакта: \( v_k = \omega_2 R_2 = \omega_1 R_1 \) \[ \omega_1 = \frac{\omega_2 R_2}{R_1} = \frac{55,33 \cdot 0,4}{0,1} = 221,32 \, \text{рад/с} \] 4. Скорость точки М (на ободе колеса 1): \[ v_M = \omega_1 R_1 = 221,32 \cdot 0,1 = 22,13 \, \text{м/с} \] 5. Ускорение точки М: Найдем угловое ускорение шкива 2: \[ \epsilon_2 = \dot{\omega}_2 = \frac{\ddot{s}}{r_2} = \frac{0,6t}{0,15} = 4t \] При \( t_1 = 5 \, \text{с} \): \( \epsilon_2 = 20 \, \text{рад/с}^2 \). Угловое ускорение колеса 1: \[ \epsilon_1 = \frac{\epsilon_2 R_2}{R_1} = \frac{20 \cdot 0,4}{0,1} = 80 \, \text{рад/с}^2 \] Касательное и нормальное ускорения точки М: \[ a_{M\tau} = \epsilon_1 R_1 = 80 \cdot 0,1 = 8 \, \text{м/с}^2 \] \[ a_{Mn} = \omega_1^2 R_1 = (221,32)^2 \cdot 0,1 \approx 4898,25 \, \text{м/с}^2 \] Полное ускорение: \[ a_M = \sqrt{a_{M\tau}^2 + a_{Mn}^2} \approx 4898,26 \, \text{м/с}^2 \] Ответ: \( v_M \approx 22,13 \, \text{м/с} \), \( a_M \approx 4898,26 \, \text{м/с}^2 \). --- Решение задачи №3 Дано: \[ R_1 = 0,3 \, \text{м} \] \[ R_2 = 0,2 \, \text{м} \] \[ AC = 0,2 \, \text{м} \] \[ \phi = \frac{\pi t^3}{4} \, \text{рад} \] \[ t_1 = 5 \, \text{с} \] Найти: скорость и ускорение точки В в момент \( t_1 \). Решение: 1. Угловая скорость кривошипа ОА (тело 2): \[ \omega_2 = \dot{\phi} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\pi t^3}{4}\right) = \frac{3\pi t^2}{4} \] При \( t_1 = 5 \, \text{с} \): \[ \omega_2 = \frac{3\pi \cdot 25}{4} = 18,75\pi \approx 58,9 \, \text{рад/с} \] 2. Скорость точки А (общая для кривошипа и колеса 1): \[ v_A = \omega_2 \cdot OA = \omega_2 \cdot R_2 = 18,75\pi \cdot 0,2 = 3,75\pi \approx 11,78 \, \text{м/с} \] 3. Колесо 1 катится без скольжения по неподвижной поверхности. Точка контакта С — мгновенный центр скоростей (МЦС). Угловая скорость колеса 1: \[ \omega_1 = \frac{v_A}{AC} = \frac{3,75\pi}{0,2} = 18,75\pi \approx 58,9 \, \text{рад/с} \] 4. Скорость точки В: Расстояние от МЦС (точки С) до точки В: \( CB = \sqrt{AC^2 + AB^2} \). Так как АВ — радиус \( R_1 = 0,3 \): \[ CB = \sqrt{0,2^2 + 0,3^2} = \sqrt{0,04 + 0,09} = \sqrt{0,13} \approx 0,36 \, \text{м} \] \[ v_B = \omega_1 \cdot CB = 18,75\pi \cdot \sqrt{0,13} \approx 58,9 \cdot 0,36 \approx 21,24 \, \text{м/с} \] 5. Ускорение точки В: Угловое ускорение колеса 2: \[ \epsilon_2 = \dot{\omega}_2 = \frac{6\pi t}{4} = 1,5\pi t \] При \( t_1 = 5 \, \text{с} \): \( \epsilon_2 = 7,5\pi \approx 23,56 \, \text{рад/с}^2 \). Ускорение точки А: \[ a_{A\tau} = \epsilon_2 R_2 = 7,5\pi \cdot 0,2 = 1,5\pi \approx 4,71 \, \text{м/с}^2 \] \[ a_{An} = \omega_2^2 R_2 = (18,75\pi)^2 \cdot 0,2 \approx 693,9 \, \text{м/с}^2 \] Угловое ускорение колеса 1 (так как \( v_A = \omega_1 \cdot AC \)): \[ \epsilon_1 = \frac{a_{A\tau}}{AC} = \frac{1,5\pi}{0,2} = 7,5\pi \approx 23,56 \, \text{рад/с}^2 \] Ускорение точки В находится через ускорение точки А и вращательное ускорение вокруг А: \[ \vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{a}_{BA}^{\tau} + \vec{a}_{BA}^{n} \] Ввиду сложности векторного сложения для школьной тетради, обычно достаточно указать компоненты: \[ a_{BA}^{\tau} = \epsilon_1 R_1 = 7,5\pi \cdot 0,3 = 2,25\pi \approx 7,07 \, \text{м/с}^2 \] \[ a_{BA}^{n} = \omega_1^2 R_1 = (18,75\pi)^2 \cdot 0,3 \approx 1040,9 \, \text{м/с}^2 \] Ответ: \( v_B \approx 21,24 \, \text{м/с} \).