Решение задачи: Найти усилия S1 и S2

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку. Вариант 2.2 1.2. Найти усилия \(S_1\), \(S_2\) в стержневой системе, если заданы \(P\), \(\alpha\), \(\beta\). Решение: Рассмотрим точку B, к которой приложены силы \(S_1\), \(S_2\) и \(P\). Для равновесия этой точки сумма всех сил должна быть равна нулю. Разложим силы на горизонтальную и вертикальную составляющие. Выберем систему координат: ось \(x\) горизонтально вправо, ось \(y\) вертикально вверх. Сила \(S_1\) направлена вдоль стержня AB. Угол между стержнем AB и вертикальной стеной равен \(\alpha\). Значит, угол между стержнем AB и горизонтальной осью \(x\) равен \(90^\circ - \alpha\). Горизонтальная составляющая \(S_{1x} = S_1 \cos(90^\circ - \alpha) = S_1 \sin \alpha\). Вертикальная составляющая \(S_{1y} = S_1 \sin(90^\circ - \alpha) = S_1 \cos \alpha\). Сила \(S_2\) направлена вдоль стержня BC. Угол между стержнем BC и вертикальной стеной равен \(\beta\). Значит, угол между стержнем BC и горизонтальной осью \(x\) равен \(90^\circ - \beta\). Горизонтальная составляющая \(S_{2x} = S_2 \cos(90^\circ - \beta) = S_2 \sin \beta\). Вертикальная составляющая \(S_{2y} = S_2 \sin(90^\circ - \beta) = S_2 \cos \beta\). Сила \(P\) направлена вертикально вниз. Горизонтальная составляющая \(P_x = 0\). Вертикальная составляющая \(P_y = -P\). Уравнения равновесия: Сумма сил по оси \(x\): \[ \sum F_x = 0 \] \[ S_1 \sin \alpha - S_2 \sin \beta = 0 \] (Предполагаем, что \(S_1\) направлена от точки B, а \(S_2\) к точке B, как показано на рисунке, или наоборот, в зависимости от того, являются ли стержни растянутыми или сжатыми. Давайте предположим, что \(S_1\) и \(S_2\) - это усилия в стержнях, и их направления будут определены знаками. На рисунке \(S_1\) направлена от точки B вверх влево, а \(S_2\) от точки B вниз влево. Тогда: \(S_{1x} = -S_1 \sin \alpha\) \(S_{1y} = S_1 \cos \alpha\) \(S_{2x} = -S_2 \sin \beta\) \(S_{2y} = -S_2 \cos \beta\) Тогда уравнения будут: \[ -S_1 \sin \alpha - S_2 \sin \beta = 0 \] Это означает, что \(S_1\) и \(S_2\) должны иметь разные знаки, что не очень удобно. Давайте лучше использовать метод треугольника сил или проекции, где направления сил определяются из рисунка. Метод проекций на оси: Пусть \(S_1\) - сила натяжения стержня AB, направленная от B к A. Пусть \(S_2\) - сила натяжения стержня BC, направленная от B к C. Сила \(P\) направлена вниз. Проекции на ось \(x\) (горизонтальная): \[ -S_1 \sin \alpha - S_2 \sin \beta = 0 \] Из этого уравнения следует, что \(S_1 \sin \alpha = -S_2 \sin \beta\). Поскольку \(\alpha\) и \(\beta\) - углы в треугольнике, их синусы положительны. Это означает, что \(S_1\) и \(S_2\) должны иметь противоположные знаки, что указывает на то, что один стержень растянут, а другой сжат. На рисунке \(S_1\) и \(S_2\) показаны как силы, направленные от точки B. Если это так, то их горизонтальные компоненты должны быть направлены в одну сторону (влево). Давайте пересмотрим направления сил. Предположим, что стержень AB растянут, тогда сила \(S_1\) действует на точку B от A. Предположим, что стержень BC сжат, тогда сила \(S_2\) действует на точку B от C. Тогда: \(S_1\) направлена вверх влево. \(S_2\) направлена вниз влево. \(P\) направлена вниз. Проекции на ось \(x\): \[ -S_1 \sin \alpha - S_2 \sin \beta = 0 \] Это уравнение все еще приводит к тому, что \(S_1\) и \(S_2\) должны иметь разные знаки. Это означает, что наше предположение о направлениях сил не совсем корректно для данной конфигурации. Давайте используем метод Ламе (теорема синусов для сил). Если три силы находятся в равновесии, то отношение каждой силы к синусу угла между двумя другими силами постоянно. Углы между силами: Угол между \(S_1\) и \(S_2\): \(180^\circ - (\alpha + \beta)\). Угол между \(S_2\) и \(P\): \(90^\circ + \beta\). Угол между \(S_1\) и \(P\): \(90^\circ + \alpha\). Тогда по теореме Ламе: \[ \frac{S_1}{\sin(90^\circ + \beta)} = \frac{S_2}{\sin(90^\circ + \alpha)} = \frac{P}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))} \] Используя тригонометрические тождества \(\sin(90^\circ + x) = \cos x\) и \(\sin(180^\circ - x) = \sin x\): \[ \frac{S_1}{\cos \beta} = \frac{S_2}{\cos \alpha} = \frac{P}{\sin(\alpha + \beta)} \] Отсюда можно найти \(S_1\) и \(S_2\): \[ S_1 = P \frac{\cos \beta}{\sin(\alpha + \beta)} \] \[ S_2 = P \frac{\cos \alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \] Это решение предполагает, что \(S_1\) и \(S_2\) - это величины сил, а их направления определяются из рисунка. Если стержни могут быть как растянуты, так и сжаты, то эти формулы дают абсолютные значения усилий. Положительные значения \(S_1\) и \(S_2\) означают, что стержни растянуты, если мы изначально предполагали их растяжение. В данном случае, судя по рисунку, стержень AB (сила \(S_1\)) растянут, а стержень BC (сила \(S_2\)) сжат. Если \(S_1\) - растяжение, а \(S_2\) - сжатие, то в уравнениях проекций нужно учесть это. Давайте вернемся к проекциям, но с учетом того, что \(S_1\) - растяжение, а \(S_2\) - сжатие. Сила \(S_1\) направлена от B к A (вверх влево). Сила \(S_2\) направлена от C к B (вверх вправо). (Если стержень BC сжат, то он давит на точку B, то есть сила \(S_2\) направлена от C к B). Сила \(P\) направлена вниз. Проекции на ось \(x\): \[ -S_1 \sin \alpha + S_2 \sin \beta = 0 \] \[ S_1 \sin \alpha = S_2 \sin \beta \] Проекции на ось \(y\): \[ S_1 \cos \alpha + S_2 \cos \beta - P = 0 \] \[ S_1 \cos \alpha + S_2 \cos \beta = P \] Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными \(S_1\) и \(S_2\): 1) \(S_1 \sin \alpha = S_2 \sin \beta\) 2) \(S_1 \cos \alpha + S_2 \cos \beta = P\) Из (1) выразим \(S_1\): \[ S_1 = S_2 \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} \] Подставим это в (2): \[ \left( S_2 \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} \right) \cos \alpha + S_2 \cos \beta = P \] \[ S_2 \frac{\sin \beta \cos \alpha}{\sin \alpha} + S_2 \cos \beta = P \] \[ S_2 \left( \frac{\sin \beta \cos \alpha}{\sin \alpha} + \cos \beta \right) = P \] \[ S_2 \left( \frac{\sin \beta \cos \alpha + \cos \beta \sin \alpha}{\sin \alpha} \right) = P \] Используя формулу синуса суммы углов \(\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\): \[ S_2 \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha} = P \] \[ S_2 = P \frac{\sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \] Теперь найдем \(S_1\): \[ S_1 = S_2 \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} = \left( P \frac{\sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \right) \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} \] \[ S_1 = P \frac{\sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)} \] Итак, окончательные формулы: \[ S_1 = P \frac{\sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)} \] \[ S_2 = P \frac{\sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \] Эти формулы дают положительные значения, если \(\alpha, \beta\) и \(\alpha+\beta\) находятся в диапазоне от 0 до 180 градусов, что соответствует физическому смыслу. Сравним с методом Ламе: Метод Ламе дал: \[ S_1 = P \frac{\cos \beta}{\sin(\alpha + \beta)} \] \[ S_2 = P \frac{\cos \alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \] Разница в \(\sin\) и \(\cos\) указывает на то, что углы в методе Ламе были взяты относительно вертикали, а в проекциях - относительно горизонтали. Если \(\alpha\) и \(\beta\) - это углы между стержнями и вертикальной стеной, как показано на рисунке, то: Угол между \(S_1\) и вертикалью = \(\alpha\). Угол между \(S_2\) и вертикалью = \(\beta\). Угол между \(S_1\) и горизонталью = \(90^\circ - \alpha\). Угол между \(S_2\) и горизонталью = \(90^\circ - \beta\). Давайте перепроверим проекции с учетом углов к вертикали. Проекции на ось \(x\) (горизонтальная): \(S_1\) направлена влево, ее угол с вертикалью \(\alpha\). Проекция на \(x\) будет \(S_1 \sin \alpha\). \(S_2\) направлена вправо, ее угол с вертикалью \(\beta\). Проекция на \(x\) будет \(S_2 \sin \beta\). \[ -S_1 \sin \alpha + S_2 \sin \beta = 0 \] \[ S_1 \sin \alpha = S_2 \sin \beta \] Это совпадает с нашим предыдущим уравнением. Проекции на ось \(y\) (вертикальная): \(S_1\) направлена вверх, ее угол с вертикалью \(\alpha\). Проекция на \(y\) будет \(S_1 \cos \alpha\). \(S_2\) направлена вверх, ее угол с вертикалью \(\beta\). Проекция на \(y\) будет \(S_2 \cos \beta\). \(P\) направлена вниз. \[ S_1 \cos \alpha + S_2 \cos \beta - P = 0 \] \[ S_1 \cos \alpha + S_2 \cos \beta = P \] Это тоже совпадает. Значит, полученные формулы: \[ S_1 = P \frac{\sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)} \] \[ S_2 = P \frac{\sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \] являются верными для данной системы, при условии, что \(S_1\) - это растягивающее усилие в стержне AB, а \(S_2\) - это сжимающее усилие в стержне BC. Ответ: Усилия в стержнях: \[ S_1 = P \frac{\sin \beta}{\sin(\alpha + \beta)} \] \[ S_2 = P \frac{\sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \] 1.18. Стержень AB весом \(P\) подвешен на невесомых нитях \(AO = l_1\) и \(OB = l_2\). Каково соотношение весов \(P_1\) и \(P_2\), если стержень находится в равновесии в горизонтальном положении? Решение: Для равновесия стержня необходимо выполнение двух условий: 1. Сумма всех сил, действующих на стержень, равна нулю. 2. Сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю. Рассмотрим стержень AB. Он находится в горизонтальном положении. На стержень действуют следующие силы: - Вес стержня \(P\), приложенный в его центре тяжести C. - Сила натяжения нити AO, обозначим ее \(T_1\). - Сила натяжения нити OB, обозначим ее \(T_2\). - Вес \(P_1\), приложенный в точке A. - Вес \(P_2\), приложенный в точке B. На рисунке показано, что нити AO и OB подвешены к одной точке O. Пусть высота точки O над стержнем AB равна \(h\). Тогда из прямоугольных треугольников, образованных нитями, стержнем и высотой \(h\): \(h^2 + AC^2 = l_1^2\) \(h^2 + BC^2 = l_2^2\) Здесь C - точка подвеса веса стержня P. На рисунке C - это точка, где приложен вес стержня P. Также на рисунке показаны веса \(P_1\) и \(P_2\) в точках A и B соответственно. Давайте выберем точку A как точку отсчета для моментов. Стержень AB горизонтален. Силы, создающие моменты относительно точки A: - Вес стержня \(P\), приложенный в точке C. Плечо силы \(P\) относительно A равно AC. Момент \(M_P = P \cdot AC\). Направлен по часовой стрелке. - Вес \(P_2\), приложенный в точке B. Плечо силы \(P_2\) относительно A равно AB. Момент \(M_{P_2} = P_2 \cdot AB\). Направлен по часовой стрелке. - Сила натяжения нити OB, \(T_2\). Эта сила действует на точку B. Ее вертикальная составляющая создает момент. - Сила натяжения нити AO, \(T_1\). Эта сила действует на точку A, поэтому ее момент относительно A равен нулю. На рисунке показано, что \(P_1\) и \(P_2\) - это внешние грузы, а \(P\) - вес самого стержня. Давайте перечитаем условие: "Стержень AB весом P подвешен на невесомых нитях AO = l1 и OB = l2. Каково соотношение весов P1 и P2, если стержень находится в равновесии в горизонтальном положении?" Это означает, что \(P_1\) и \(P_2\) - это дополнительные грузы, приложенные к концам стержня. Для равновесия стержня в горизонтальном положении, сумма моментов относительно любой точки должна быть равна нулю. Удобно выбрать точку, через которую проходят некоторые неизвестные силы. Давайте выберем точку A как ось вращения. Моменты относительно точки A: - Момент от силы \(P_1\) (в точке A) равен 0. - Момент от силы \(P\) (веса стержня) равен \(P \cdot AC\). Направлен по часовой стрелке. - Момент от силы \(P_2\) (в точке B) равен \(P_2 \cdot AB\). Направлен по часовой стрелке. - Момент от силы натяжения нити OB, \(T_2\). Сила \(T_2\) направлена вдоль нити OB. Угол между нитью OB и горизонтальным стержнем AB обозначим \(\theta_2\). Вертикальная составляющая силы \(T_2\) равна \(T_2 \sin \theta_2\). Плечо этой силы относительно A равно AB. Момент \(M_{T_2} = T_2 \sin \theta_2 \cdot AB\). Направлен против часовой стрелки. Угол \(\theta_2\) - это угол между нитью OB и стержнем AB. Из рисунка видно, что