Решение задач по геометрии: Пирамида и перпендикулярность

Ниже представлено решение задач с изображения в удобном для переписывания виде. Задача 1. Дано: \(SABCD\) — пирамида, \(ABCD\) — прямоугольная трапеция (\(\angle A = \angle D = 90^\circ\)), \(SD \perp (ABC)\). Анализ: 1) \(SA\) и \(AB\): \(SD \perp AD\), \(AD \perp AB\). По теореме о трех перпендикулярах \(SA \perp AB\). Верно. 2) \(SA\) и \(DB\): нет оснований для перпендикулярности. 3) \(AB\) и \(SC\): \(AB \perp AD\) и \(AB \perp SD\) (так как \(SD\) — перпендикуляр к плоскости), значит \(AB \perp (SAD)\). Но \(SC\) не лежит в этой плоскости и не параллельна ей так, чтобы быть перпендикулярной. 4) \(SD\) и \(CB\): \(SD\) перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, значит \(SD \perp CB\). Верно. Ответ: 14 Задача 2. Дано: \(SABCD\) — пирамида, \(ABCD\) — квадрат, \(SO \perp (ABC)\), \(M\) — середина \(CD\). Анализ: 1) \(SM\) и \(AB\): \(OM \perp CD\) (как радиус к стороне), \(CD \parallel AB\), значит \(OM \perp AB\). По теореме о трех перпендикулярах \(SM \perp AB\). Верно. 2) \(BS\) и \(DC\): нет. 3) \(SA\) и \(DB\): \(AC \perp DB\) (диагонали квадрата), \(SO \perp DB\). Значит \(DB \perp (SAC)\). Следовательно, \(DB \perp SA\). Верно. 4) \(AB\) и \(SO\): \(SO\) — высота, перпендикулярна любой прямой в основании. Верно. 5) \(AB\) и \(CB\): стороны квадрата перпендикулярны. Верно. Ответ: 1345 Задача 3. Дано: прямая шестиугольная призма. Найти прямые, перпендикулярные плоскости \(ABC\). Анализ: В прямой призме боковые ребра перпендикулярны основаниям. 1) \(AB\) — лежит в плоскости. 2) \(AA_1\) — боковое ребро. Верно. 3) \(CC_1\) — боковое ребро. Верно. 4) \(B_1C_1\) — лежит в плоскости верхнего основания. Ответ: 23 Задача 4. Дано: \(SABC\) — пирамида, \(\triangle ABC\) — правильный, \(SA \perp (ABC)\). Анализ: 1) \(SA\) и \(SN\): пересекаются под острым углом. 2) \(CM\) и \(AO\): в правильном треугольнике медианы пересекаются под углом \(60^\circ\). 3) \(SA\) и \(BP\): \(SA\) перпендикулярна любой прямой в основании, значит \(SA \perp BP\). Верно. 4) \(OM\) и \(CP\): это части медиан, они не перпендикулярны. 5) \(SM\) и \(NP\): \(NP\) — средняя линия, \(NP \parallel BC\). \(AM \perp BC\) (высота), по теореме о трех перпендикулярах \(SM \perp BC\). Значит \(SM \perp NP\). Верно. Ответ: 35 Задача 5. Дано: \(SABC\) — пирамида, \(\triangle ABC\) — правильный, \(SA \perp (ABC)\). Анализ: 1) \(NP\) и \(SM\): Аналогично задаче 4, \(NP \parallel BC\), \(BC \perp SM\), значит \(NP \perp SM\). Верно. 2) \(SN\) и \(NP\): нет. 3) \(SA\) и \(OC\): \(SA\) перпендикулярна плоскости основания, значит \(SA \perp OC\). Верно. 4) \(NP\) и \(AO\): \(NP \parallel BC\), \(AO \perp BC\), значит \(NP \perp AO\). Верно. 5) \(SB\) и \(CP\): \(CP \perp AB\) (высота), \(SA \perp CP\). Значит \(CP \perp (SAB)\). Следовательно, \(CP \perp SB\). Верно. Ответ: 1345