Решение задачи №1, Билет №30 по электротехнике

Ниже представлено решение задач из экзаменационного билета № 30 по дисциплине «Электротехника». Решения оформлены так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Задача №1 Дано: \(f_{гр} = 100 \text{ кГц} = 10^5 \text{ Гц}\) \(f = 25 \text{ кГц} = 2,5 \cdot 10^4 \text{ Гц}\) \(C = 5 \cdot 10^3 \text{ пФ} = 5 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}\) Найти: \(L\), \(\alpha\) Решение: Для Т-образного фильтра высоких частот (ФВЧ) типа k граничная частота определяется формулой: \[f_{гр} = \frac{1}{4\pi \sqrt{LC}}\] Отсюда выразим индуктивность \(L\): \[L = \frac{1}{16\pi^2 f_{гр}^2 C}\] Подставим значения: \[L = \frac{1}{16 \cdot 3,14^2 \cdot (10^5)^2 \cdot 5 \cdot 10^{-9}} \approx 1,27 \cdot 10^{-4} \text{ Гн} = 127 \text{ мкГн}\] Коэффициент затухания \(\alpha\) в полосе задерживания (\(f < f_{гр}\)) для фильтра типа k вычисляется через нормированную частоту \(\eta = f / f_{гр}\): \[\eta = \frac{25}{100} = 0,25\] \[\alpha = 2 \cdot \text{arch}\left(\frac{1}{\eta}\right) = 2 \cdot \ln\left(\frac{1}{\eta} + \sqrt{\frac{1}{\eta^2} - 1}\right)\] \[\alpha = 2 \cdot \ln(4 + \sqrt{16 - 1}) = 2 \cdot \ln(4 + 3,87) \approx 4,12 \text{ Нп}\] Ответ: \(L = 127 \text{ мкГн}\), \(\alpha = 4,12 \text{ Нп}\). Задача №3 Дано: \(R_1 = 2 \text{ Ом}\), \(R_2 = 3 \text{ Ом}\), \(C = 10 \text{ мкФ} = 10^{-5} \text{ Ф}\), \(L = 0,25 \text{ Гн}\), \(J = 0,2 \text{ А}\). Решение: 1. Докоммутационный режим (\(t = 0_-\)): Источник тока \(J\) создает постоянный ток. Катушка \(L\) — короткое замыкание, конденсатор \(C\) — разрыв. Ток через катушку: \(i_L(0_-) = J \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 0,2 \cdot \frac{3}{2+3} = 0,12 \text{ А}\). Напряжение на конденсаторе: \(u_C(0_-) = J \cdot \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = 0,2 \cdot \frac{2 \cdot 3}{5} = 0,24 \text{ В}\). 2. Операторная схема после отключения \(J\): Цепь превращается в последовательный контур из \(R_1, L, R_2, C\). Суммарное сопротивление: \(R = R_1 + R_2 = 5 \text{ Ом}\). Операторное сопротивление: \(Z(p) = R + pL + \frac{1}{pC}\). Учитываем начальные условия (ЭДС \(Li_L(0)\) и \(u_C(0)/p\)): \[I(p) = \frac{L \cdot i_L(0) - \frac{u_C(0)}{p}}{R + pL + \frac{1}{pC}} = \frac{p L i_L(0) - u_C(0)}{p^2 L + pR + \frac{1}{C}}\] Подставим числа: \[I(p) = \frac{0,25 \cdot 0,12 p - 0,24}{0,25 p^2 + 5p + 10^5} = \frac{0,03 p - 0,24}{0,25(p^2 + 20p + 4 \cdot 10^5)}\] Так как корни знаменателя комплексно-сопряженные (\(D < 0\)), процесс носит колебательный характер. Задача №4 Дано: \(R = 5 \text{ Ом}\), \(I_2 = 1,2 \text{ А}\). По графику ВАХ для НЭ2 (кривая 2): при токе \(I_2 = 1,2 \text{ А}\) напряжение на нем составляет \(U = 2 \text{ В}\). Так как НЭ2, резистор \(R\) и ветвь с НЭ1 включены параллельно относительно узлов, напряжение на них одинаково. Напряжение на зажимах \(a-b\) равно сумме напряжений на НЭ1 и параллельном участке. Ток через резистор \(R\): \(I_R = U / R = 2 / 5 = 0,4 \text{ А}\). Ток в нелинейной части (НЭ2 + R): \(I = I_2 + I_R = 1,2 + 0,4 = 1,6 \text{ А}\). Этот ток \(I\) протекает через НЭ1. По графику 1 при \(I_1 = 1,6 \text{ А}\) напряжение \(U_{НЭ1} \approx 0,8 \text{ В}\). Общее напряжение: \(U_{ab} = U_{НЭ1} + U = 0,8 + 2 = 2,8 \text{ В}\). Ответ: \(U_{ab} = 2,8 \text{ В}\). Задача №5 Дано: \(\underline{Z}_H = \underline{Z}_c = 10 e^{j45^\circ} \text{ Ом}\) \(\underline{I}_1 = 0,6 e^{j120^\circ} \text{ А}\) \(\underline{U}_2 = 20 e^{j60^\circ} \text{ В}\) Решение: Коэффициент передачи по напряжению: \(\underline{K}_u = \frac{\underline{U}_2}{\underline{U}_1}\). Так как четырехполюсник нагружен на согласованную нагрузку (\(\underline{Z}_H = \underline{Z}_c\)), то входное сопротивление равно характеристическому: \(\underline{Z}_{вх} = \underline{Z}_c\). Тогда входное напряжение: \[\underline{U}_1 = \underline{I}_1 \cdot \underline{Z}_c = 0,6 e^{j120^\circ} \cdot 10 e^{j45^\circ} = 6 e^{j165^\circ} \text{ В}\] Находим коэффициент передачи: \[\underline{K}_u = \frac{20 e^{j60^\circ}}{6 e^{j165^\circ}} = \frac{10}{3} e^{j(60^\circ - 165^\circ)} \approx 3,33 e^{-j105^\circ}\] Ответ: \(\underline{K}_u = 3,33 e^{-j105^\circ}\).