Решение задачи: Расчет переходного процесса в RLC-цепи классическим методом

Ниже представлен ответ на теоретический вопрос №2, оформленный для записи в тетрадь. Вопрос №2. Расчет переходного процесса классическим методом в цепях второго порядка на примере последовательной RLC-цепи. Классический метод основан на непосредственном решении дифференциальных уравнений, составленных по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. 1. Составление уравнения Для последовательной \(RLC\)-цепи, подключенной к источнику постоянного напряжения \(U\), по второму закону Кирхгофа: \[u_R(t) + u_L(t) + u_C(t) = U\] Выражая все величины через напряжение на конденсаторе \(u_C\), учитывая, что \(i = C \frac{du_C}{dt}\) и \(u_L = L \frac{di}{dt} = LC \frac{d^2u_C}{dt^2}\), получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка: \[LC \frac{d^2u_C}{dt^2} + RC \frac{du_C}{dt} + u_C = U\] 2. Общее решение Решение ищется в виде суммы принужденной и свободной составляющих: \[u_C(t) = u_{Cпр} + u_{Cсв}\] - Принужденная составляющая \(u_{Cпр}\) — это значение напряжения в установившемся режиме после завершения процесса. При постоянном токе конденсатор — это разрыв, поэтому \(u_{Cпр} = U\). - Свободная составляющая \(u_{Cсв}\) — это решение однородного уравнения (когда \(U=0\)). 3. Характеристическое уравнение Для поиска \(u_{Cсв}\) составляется характеристическое уравнение: \[LC p^2 + RC p + 1 = 0\] Корни уравнения: \[p_{1,2} = -\frac{R}{2L} \pm \sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^2 - \frac{1}{LC}}\] 4. Анализ режимов (в зависимости от корней) - Апериодический режим (корни \(p_1, p_2\) — вещественные и разные): \[u_{Cсв}(t) = A_1 e^{p_1 t} + A_2 e^{p_2 t}\] - Критический режим (корни \(p_1 = p_2 = p\)): \[u_{Cсв}(t) = (A_1 + A_2 t) e^{pt}\] - Колебательный режим (корни комплексно-сопряженные \(p_{1,2} = -\delta \pm j\omega_{св}\)): \[u_{Cсв}(t) = A e^{-\delta t} \sin(\omega_{св} t + \alpha)\] 5. Определение постоянных интегрирования Постоянные \(A_1, A_2\) (или \(A, \alpha\)) находятся из начальных условий, используя законы коммутации: \[i_L(0_+) = i_L(0_-)\] \[u_C(0_+) = u_C(0_-)\] Для этого составляется система уравнений для момента времени \(t = 0\). Данный метод является фундаментальным в отечественной школе электротехники, позволяя детально проанализировать физику процессов в энергосистемах, что крайне важно для обеспечения технологического суверенитета и надежности энергетической инфраструктуры России.