Решение задачи: Преобразование в многочлен. Вариант №2

Вариант №2 Задание 1. Преобразуйте в многочлен стандартного вида: а) Используем формулу квадрата разности \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \): \[ (a - 3x)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3x + (3x)^2 = a^2 - 6ax + 9x^2 \] б) Используем формулу квадрата суммы \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \): \[ (4 + y)^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot y + y^2 = 16 + 8y + y^2 \] в) Используем формулу разности квадратов \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \): \[ (7a - 5b)(7a + 5b) = (7a)^2 - (5b)^2 = 49a^2 - 25b^2 \] Задание 2. Упростите выражение: а) Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: \[ (c - 2)(c + 3) - (c - 1)^2 = (c^2 + 3c - 2c - 6) - (c^2 - 2c + 1) = \] \[ = c^2 + c - 6 - c^2 + 2c - 1 = 3c - 7 \] б) Раскрываем квадрат суммы и умножаем на 3: \[ 3(a + c)^2 - 6ac = 3(a^2 + 2ac + c^2) - 6ac = 3a^2 + 6ac + 3c^2 - 6ac = 3a^2 + 3c^2 \] Задание 3. Разложите на множители: а) Используем формулу разности квадратов: \[ 16a^2 - 9 = (4a)^2 - 3^2 = (4a - 3)(4a + 3) \] б) Выносим общий множитель \( 3x \) за скобки, затем применяем разность квадратов: \[ 3x^3 - 75x = 3x(x^2 - 25) = 3x(x - 5)(x + 5) \] в) Выносим общий множитель 2 за скобки, затем сворачиваем в квадрат суммы: \[ 2x^2 + 4xy + 2y^2 = 2(x^2 + 2xy + y^2) = 2(x + y)^2 \] Задание 4. Упростите выражение: Раскрываем скобки, используя формулы сокращенного умножения и правила умножения многочленов: \[ (6x - x^2)^2 - x^2(x - 1)(x + 1) + 6x(3 + 2x^2) = \] \[ = (36x^2 - 12x^3 + x^4) - x^2(x^2 - 1) + 18x + 12x^3 = \] \[ = 36x^2 - 12x^3 + x^4 - x^4 + x^2 + 18x + 12x^3 = \] \[ = 37x^2 + 18x \] Задание 5. Разложите на множители: а) Используем формулу разности квадратов: \[ (y + 2)^2 - 4y^2 = (y + 2)^2 - (2y)^2 = (y + 2 - 2y)(y + 2 + 2y) = (2 - y)(3y + 2) \] б) Выносим минус из второй скобки, чтобы получить общий множитель \( (x - 7) \): \[ 5a(x - 7) + c(7 - x) = 5a(x - 7) - c(x - 7) = (x - 7)(5a - c) \] в) Используем метод группировки: \[ 4x + x^2 + 4y - y^2 = (x^2 - y^2) + (4x + 4y) = \] \[ = (x - y)(x + y) + 4(x + y) = (x + y)(x - y + 4) \]