Решение Задачи: Правильная Треугольная Призма

Ниже представлено решение задач Варианта 1, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1 Дано: Правильная треугольная призма. Сторона основания \( a = 6 \) см. Диагональ боковой грани \( d = 10 \) см. Найти: \( S_{бок} \), \( S_{полн} \). Решение: 1. Боковая грань правильной призмы — прямоугольник. Из прямоугольного треугольника, образованного стороной основания, высотой призмы и диагональю грани, по теореме Пифагора найдем высоту \( h \): \[ h = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ (см)} \] 2. Площадь боковой поверхности правильной призмы: \[ S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (3 \cdot a) \cdot h = (3 \cdot 6) \cdot 8 = 18 \cdot 8 = 144 \text{ (см}^2\text{)} \] 3. Площадь основания (равносторонний треугольник): \[ S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ (см}^2\text{)} \] 4. Площадь полной поверхности: \[ S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 144 + 2 \cdot 9\sqrt{3} = 144 + 18\sqrt{3} \text{ (см}^2\text{)} \] Ответ: \( 144 \text{ см}^2 \); \( 144 + 18\sqrt{3} \text{ см}^2 \). --- Задача 2 Дано: Прямая призма. Основание — ромб, \( a = 5 \) см, \( \angle = 120^\circ \). \( S_{бок} = 240 \text{ см}^2 \). Найти: \( S_{сеч} \) (через меньшую диагональ). Решение: 1. Найдем высоту призмы \( h \). У ромба все стороны равны, периметр \( P = 4a = 4 \cdot 5 = 20 \) см. \[ h = \frac{S_{бок}}{P} = \frac{240}{20} = 12 \text{ (см)} \] 2. Меньшая диагональ ромба \( d_1 \) лежит против острого угла. Острый угол ромба равен \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \). Треугольник, образованный двумя сторонами и меньшей диагональю, является равнобедренным с углом \( 60^\circ \), то есть равносторонним. Значит: \[ d_1 = a = 5 \text{ (см)} \] 3. Сечение, проходящее через боковое ребро и меньшую диагональ, является прямоугольником со сторонами \( d_1 \) и \( h \): \[ S_{сеч} = d_1 \cdot h = 5 \cdot 12 = 60 \text{ (см}^2\text{)} \] Ответ: \( 60 \text{ см}^2 \). --- Задача 3 Дано: Наклонный параллелепипед. Боковые грани — ромбы, острый угол \( \alpha = 30^\circ \). Высота параллелепипеда \( H = 2\sqrt{2} \) см. Угол наклона бокового ребра \( \beta = 45^\circ \). Найти: \( S_{бок} \). Решение: 1. Из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром \( L \), высотой \( H \) и проекцией ребра, найдем длину бокового ребра: \[ L = \frac{H}{\sin \beta} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4 \text{ (см)} \] 2. Так как боковые грани — ромбы, то все ребра параллелепипеда равны \( L = 4 \) см. 3. Площадь одной боковой грани (ромба со стороной \( L \) и углом \( 30^\circ \)): \[ S_{грани} = L^2 \cdot \sin 30^\circ = 4^2 \cdot \frac{1}{2} = 16 \cdot 0.5 = 8 \text{ (см}^2\text{)} \] 4. У параллелепипеда 4 боковые грани. В данном случае, так как все грани — одинаковые ромбы: \[ S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 8 = 32 \text{ (см}^2\text{)} \] Ответ: \( 32 \text{ см}^2 \).