Решение задачи по геометрии: Правильная четырехугольная пирамида

Задача 1. Дано: Правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания \( a = 28 \). Боковое ребро \( l = 50 \). Найти: \( S_{полн} \) Решение: 1. Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади основания и площади боковой поверхности: \[ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \] 2. Основанием является квадрат, поэтому: \[ S_{осн} = a^2 = 28^2 = 784 \] 3. Боковая поверхность состоит из четырех равных равнобедренных треугольников. Найдем апофему \( h \) (высоту боковой грани) по теореме Пифагора из треугольника, образованного апофемой, боковым ребром и половиной стороны основания: \[ h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{50^2 - 14^2} = \sqrt{2500 - 196} = \sqrt{2304} = 48 \] 4. Площадь боковой поверхности: \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 28) \cdot 48 = 2 \cdot 28 \cdot 48 = 2688 \] 5. Полная площадь: \[ S_{полн} = 784 + 2688 = 3472 \] Ответ: 3472. Задача 2. Дано: Прямоугольный треугольник. Гипотенуза \( c = 10\sqrt{2} \). Катет \( a = 10 \). Найти: \( S \) Решение: 1. Найдем второй катет \( b \) по теореме Пифагора: \[ b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{(10\sqrt{2})^2 - 10^2} = \sqrt{100 \cdot 2 - 100} = \sqrt{200 - 100} = \sqrt{100} = 10 \] 2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50 \] Ответ: 50. Задача 3. Дано: Правильная шестиугольная пирамида. Сторона основания \( a = 24 \). Боковое ребро \( l = 20 \). Найти: \( S_{бок} \) Решение: 1. Боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды состоит из шести равных равнобедренных треугольников. 2. Найдем апофему \( h \) (высоту боковой грани) по теореме Пифагора: \[ h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \] 3. Площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на апофему: \[ P_{осн} = 6 \cdot a = 6 \cdot 24 = 144 \] \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot 16 = 144 \cdot 8 = 1152 \] Ответ: 1152.