Решение задачи №1 из билета №15: Расчет параметров ФВЧ

Ниже представлено решение задач из экзаменационного билета № 15. Решения оформлены для удобного переписывания в тетрадь. Задача №1 Дано: \(f_{гр} = 116 \text{ кГц} = 1,16 \cdot 10^5 \text{ Гц}\) \(f = 58 \text{ кГц}\) \(C = 5 \cdot 10^3 \text{ пФ} = 5 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}\) Найти: \(L\), \(\alpha\) Решение: Для П-образного ФВЧ типа k граничная частота вычисляется по формуле: \[f_{гр} = \frac{1}{4\pi \sqrt{LC}}\] Выразим индуктивность \(L\): \[L = \frac{1}{16\pi^2 f_{гр}^2 C}\] \[L = \frac{1}{16 \cdot 3,14^2 \cdot (1,16 \cdot 10^5)^2 \cdot 5 \cdot 10^{-9}} \approx 0,94 \cdot 10^{-4} \text{ Гн} = 94 \text{ мкГн}\] Коэффициент затухания \(\alpha\) на частоте \(f = 58 \text{ кГц}\): Нормированная частота \(\eta = f / f_{гр} = 58 / 116 = 0,5\). \[\alpha = 2 \cdot \text{arch}\left(\frac{1}{\eta}\right) = 2 \cdot \ln\left(\frac{1}{0,5} + \sqrt{\frac{1}{0,5^2} - 1}\right)\] \[\alpha = 2 \cdot \ln(2 + \sqrt{3}) \approx 2 \cdot 1,317 = 2,63 \text{ Нп}\] Ответ: \(L = 94 \text{ мкГн}\), \(\alpha = 2,63 \text{ Нп}\). Задача №3 Дано: \(R_1 = 1 \text{ Ом}\), \(R_2 = 4 \text{ Ом}\), \(C = 10 \text{ мкФ}\), \(L = 0,25 \text{ Гн}\), \(J = 0,1 \text{ А}\). Решение: 1. До коммутации (режим постоянного тока): Ток через катушку: \(i_L(0_-) = J = 0,1 \text{ А}\) (так как ветвь с \(C\) разомкнута). Напряжение на конденсаторе: \(u_C(0_-) = J \cdot R_1 = 0,1 \cdot 1 = 0,1 \text{ В}\). 2. После отключения \(J\) (операторная схема): Цепь представляет собой последовательный контур \(L, R_1, R_2, C\). Общее сопротивление \(R = R_1 + R_2 = 5 \text{ Ом}\). Уравнение по второму закону Кирхгофа в операторной форме: \[I(p) \cdot (pL + R + \frac{1}{pC}) = L i_L(0_-) - \frac{u_C(0_-)}{p}\] \[I(p) = \frac{p L i_L(0_-) - u_C(0_-)}{p^2 L + pR + \frac{1}{C}}\] Подставим значения: \[I(p) = \frac{0,25 \cdot 0,1 p - 0,1}{0,25 p^2 + 5p + 10^5} = \frac{0,025 p - 0,1}{0,25(p^2 + 20p + 4 \cdot 10^5)}\] Задача №4 Дано: \(R = 5 \text{ Ом}\), \(I_2 = 1,2 \text{ А}\). 1. По графику ВАХ для НЭ2 (кривая 2): при \(I_2 = 1,2 \text{ А}\) напряжение \(U = 2 \text{ В}\). 2. Напряжение на резисторе \(R\) такое же: \(U_R = 2 \text{ В}\). Ток через него: \(I_R = U/R = 2/5 = 0,4 \text{ А}\). 3. Общий ток через НЭ1: \(I_1 = I_2 + I_R = 1,2 + 0,4 = 1,6 \text{ А}\). 4. По графику ВАХ для НЭ1 (кривая 1): при \(I_1 = 1,6 \text{ А}\) напряжение \(U_{НЭ1} \approx 0,8 \text{ В}\). 5. Напряжение на зажимах: \(U_{ab} = U_{НЭ1} + U = 0,8 + 2 = 2,8 \text{ В}\). Ответ: \(U_{ab} = 2,8 \text{ В}\). Задача №5 Дано: \(\underline{Z}_c = 20 e^{j30^\circ} \text{ Ом}\), \(\gamma = 0,1 + j\frac{\pi}{6}\), \(\underline{I}_{10} = 0,2 e^{-j30^\circ} \text{ А}\). Режим холостого хода (\(\underline{I}_2 = 0\)). Для симметричного четырехполюсника: \[\underline{U}_1 = \underline{U}_2 \text{ch}(\gamma) + \underline{I}_2 \underline{Z}_c \text{sh}(\gamma)\] \[\underline{I}_1 = \frac{\underline{U}_2}{\underline{Z}_c} \text{sh}(\gamma) + \underline{I}_2 \text{ch}(\gamma)\] При холостом ходе: \(\underline{I}_{10} = \frac{\underline{U}_{20}}{\underline{Z}_c} \text{sh}(\gamma)\). Отсюда комплекс выходного напряжения: \[\underline{U}_{20} = \frac{\underline{I}_{10} \cdot \underline{Z}_c}{\text{sh}(\gamma)}\] Подставим значения: \[\underline{I}_{10} \cdot \underline{Z}_c = 0,2 e^{-j30^\circ} \cdot 20 e^{j30^\circ} = 4 \text{ В}\] \[\text{sh}(0,1 + j\frac{\pi}{6}) = \text{sh}(0,1)\cos(\frac{\pi}{6}) + j\text{ch}(0,1)\sin(\frac{\pi}{6}) \approx 0,1 \cdot 0,866 + j 1,005 \cdot 0,5 \approx 0,0866 + j0,5025\] Переведем в показательную форму: \(\approx 0,51 e^{j80,2^\circ}\). \[\underline{U}_{20} = \frac{4}{0,51 e^{j80,2^\circ}} \approx 7,84 e^{-j80,2^\circ} \text{ В}\] Ответ: \(\underline{U}_{20} \approx 7,84 e^{-j80,2^\circ} \text{ В}\).