Решение задач: Закон сохранения энергии

Решение задач 1-го варианта по теме «Закон сохранения энергии». Задача 1. Дано: \( p = 4,5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \) \( E_k = 9 \, \text{Дж} \) Найти: \( m - ? \) \( v - ? \) Решение: Импульс тела определяется формулой: \[ p = m \cdot v \] Кинетическая энергия тела: \[ E_k = \frac{m \cdot v^2}{2} \] Выразим кинетическую энергию через импульс: \[ E_k = \frac{(m \cdot v) \cdot v}{2} = \frac{p \cdot v}{2} \] Отсюда найдем скорость: \[ v = \frac{2 \cdot E_k}{p} \] \[ v = \frac{2 \cdot 9}{4,5} = \frac{18}{4,5} = 4 \, \text{м/с} \] Теперь найдем массу из формулы импульса: \[ m = \frac{p}{v} \] \[ m = \frac{4,5}{4} = 1,125 \, \text{кг} \] Ответ: \( m = 1,125 \, \text{кг} \); \( v = 4 \, \text{м/с} \). --- Задача 2. Дано: \( k = 800 \, \text{Н/м} \) \( x = 5 \, \text{см} = 0,05 \, \text{м} \) \( m = 20 \, \text{г} = 0,02 \, \text{кг} \) Найти: \( v - ? \) Решение: Согласно закону сохранения энергии, потенциальная энергия сжатой пружины переходит в кинетическую энергию пули: \[ E_p = E_k \] \[ \frac{k \cdot x^2}{2} = \frac{m \cdot v^2}{2} \] \[ k \cdot x^2 = m \cdot v^2 \] Выразим скорость: \[ v = \sqrt{\frac{k \cdot x^2}{m}} = x \cdot \sqrt{\frac{k}{m}} \] \[ v = 0,05 \cdot \sqrt{\frac{800}{0,02}} = 0,05 \cdot \sqrt{40000} = 0,05 \cdot 200 = 10 \, \text{м/с} \] Ответ: \( v = 10 \, \text{м/с} \). --- Задача 3. Дано: \( m = 10 \, \text{г} = 0,01 \, \text{кг} \) \( v_0 = 600 \, \text{м/с} \) \( M = 5 \, \text{кг} \) \( g = 10 \, \text{м/с}^2 \) Найти: \( h - ? \) Решение: 1. По закону сохранения импульса для неупругого удара (пуля застряла): \[ m \cdot v_0 = (m + M) \cdot u \] где \( u \) — скорость маятника с пулей сразу после удара. \[ u = \frac{m \cdot v_0}{m + M} \] \[ u = \frac{0,01 \cdot 600}{0,01 + 5} = \frac{6}{5,01} \approx 1,1976 \, \text{м/с} \] 2. По закону сохранения механической энергии: \[ \frac{(m + M) \cdot u^2}{2} = (m + M) \cdot g \cdot h \] \[ h = \frac{u^2}{2 \cdot g} \] \[ h = \frac{1,1976^2}{2 \cdot 10} \approx \frac{1,434}{20} \approx 0,0717 \, \text{м} \approx 7,2 \, \text{см} \] Ответ: \( h \approx 7,2 \, \text{см} \). --- Задача 4. Дано: \( m = 0,5 \, \text{кг} \) \( v_0 = 20 \, \text{м/с} \) \( h = 15 \, \text{м} \) \( g = 10 \, \text{м/с}^2 \) Найти: \( F_{сопр} - ? \) Решение: Начальная кинетическая энергия тела расходуется на совершение работы против силы тяжести и против силы сопротивления воздуха: \[ E_{k0} = E_p + A_{сопр} \] \[ \frac{m \cdot v_0^2}{2} = m \cdot g \cdot h + F_{сопр} \cdot h \] Выразим силу сопротивления: \[ F_{сопр} \cdot h = \frac{m \cdot v_0^2}{2} - m \cdot g \cdot h \] \[ F_{сопр} = \frac{m \cdot v_0^2}{2 \cdot h} - m \cdot g \] \[ F_{сопр} = \frac{0,5 \cdot 20^2}{2 \cdot 15} - 0,5 \cdot 10 = \frac{0,5 \cdot 400}{30} - 5 = \frac{200}{30} - 5 = 6,67 - 5 = 1,67 \, \text{Н} \] Ответ: \( F_{сопр} \approx 1,67 \, \text{Н} \). --- Задача 5. Дано: \( m_1 = 200 \, \text{г} = 0,2 \, \text{кг} \) \( v_1 = 10 \, \text{м/с} \) \( m_2 = 800 \, \text{г} = 0,8 \, \text{кг} \) \( v_2 = 0 \) Найти: \( u_1 - ? \), \( u_2 - ? \) Решение: Для центрального абсолютно упругого удара со стоящим телом используются формулы: \[ u_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \cdot v_1 \] \[ u_2 = \frac{2 \cdot m_1}{m_1 + m_2} \cdot v_1 \] Подставим значения: \[ u_1 = \frac{0,2 - 0,8}{0,2 + 0,8} \cdot 10 = \frac{-0,6}{1} \cdot 10 = -6 \, \text{м/с} \] (Знак минус означает, что первый шар отскочил назад). \[ u_2 = \frac{2 \cdot 0,2}{0,2 + 0,8} \cdot 10 = \frac{0,4}{1} \cdot 10 = 4 \, \text{м/с} \] Ответ: \( u_1 = -6 \, \text{м/с} \); \( u_2 = 4 \, \text{м/с} \).