Решение задач варианта 2: Закон сохранения энергии

Решение задач 2-го варианта по теме «Закон сохранения энергии». Задача 1. Дано: \( E_k = 7,5 \, \text{Дж} \) \( p = 5 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \) Найти: \( m - ? \) \( v - ? \) Решение: Используем формулы для кинетической энергии и импульса: \[ E_k = \frac{m \cdot v^2}{2} \] \[ p = m \cdot v \] Выразим энергию через импульс: \[ E_k = \frac{(m \cdot v) \cdot v}{2} = \frac{p \cdot v}{2} \] Отсюда найдем скорость: \[ v = \frac{2 \cdot E_k}{p} \] \[ v = \frac{2 \cdot 7,5}{5} = \frac{15}{5} = 3 \, \text{м/с} \] Теперь найдем массу из формулы импульса: \[ m = \frac{p}{v} \] \[ m = \frac{5}{3} \approx 1,67 \, \text{кг} \] Ответ: \( m \approx 1,67 \, \text{кг} \); \( v = 3 \, \text{м/с} \). --- Задача 2. Дано: \( m = 800 \, \text{г} = 0,8 \, \text{кг} \) \( v = 2 \, \text{м/с} \) \( k = 8 \, \text{кН/м} = 8000 \, \text{Н/м} \) Найти: \( x - ? \) Решение: В момент, когда деформация пружины стала равной нулю, вся её потенциальная энергия перешла в кинетическую энергию тела: \[ E_p = E_k \] \[ \frac{k \cdot x^2}{2} = \frac{m \cdot v^2}{2} \] \[ k \cdot x^2 = m \cdot v^2 \] Выразим величину деформации \( x \): \[ x = \sqrt{\frac{m \cdot v^2}{k}} = v \cdot \sqrt{\frac{m}{k}} \] \[ x = 2 \cdot \sqrt{\frac{0,8}{8000}} = 2 \cdot \sqrt{0,0001} = 2 \cdot 0,01 = 0,02 \, \text{м} \] Переведем в сантиметры: \( 0,02 \, \text{м} = 2 \, \text{см} \). Ответ: \( x = 2 \, \text{см} \). --- Задача 3. Дано: \( M = 5 \, \text{кг} \) \( m = 10 \, \text{г} = 0,01 \, \text{кг} \) \( h = 10 \, \text{см} = 0,1 \, \text{м} \) \( g = 10 \, \text{м/с}^2 \) Найти: \( v_0 - ? \) Решение: 1. По закону сохранения энергии, кинетическая энергия маятника с пулей сразу после удара перешла в потенциальную энергию на высоте \( h \): \[ \frac{(m + M) \cdot u^2}{2} = (m + M) \cdot g \cdot h \] \[ u = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} \] \[ u = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0,1} = \sqrt{2} \approx 1,414 \, \text{м/с} \] 2. По закону сохранения импульса для неупругого удара: \[ m \cdot v_0 = (m + M) \cdot u \] \[ v_0 = \frac{(m + M) \cdot u}{m} \] \[ v_0 = \frac{(0,01 + 5) \cdot 1,414}{0,01} = \frac{5,01 \cdot 1,414}{0,01} \approx 708,4 \, \text{м/с} \] Ответ: \( v_0 \approx 708,4 \, \text{м/с} \). --- Задача 4. Дано: \( m = 2 \, \text{кг} \) \( h = 20 \, \text{м} \) \( v = 15 \, \text{м/с} \) \( g = 10 \, \text{м/с}^2 \) Найти: \( F_{сопр} - ? \) Решение: Потенциальная энергия тела на высоте \( h \) переходит в кинетическую энергию у земли и работу против силы сопротивления воздуха: \[ E_p = E_k + A_{сопр} \] \[ m \cdot g \cdot h = \frac{m \cdot v^2}{2} + F_{сопр} \cdot h \] Выразим силу сопротивления: \[ F_{сопр} \cdot h = m \cdot g \cdot h - \frac{m \cdot v^2}{2} \] \[ F_{сопр} = m \cdot g - \frac{m \cdot v^2}{2 \cdot h} \] \[ F_{сопр} = 2 \cdot 10 - \frac{2 \cdot 15^2}{2 \cdot 20} = 20 - \frac{225}{20} = 20 - 11,25 = 8,75 \, \text{Н} \] Ответ: \( F_{сопр} = 8,75 \, \text{Н} \). --- Задача 5. Дано: \( m_1 = 400 \, \text{г} = 0,4 \, \text{кг} \) \( m_2 = 100 \, \text{г} = 0,1 \, \text{кг} \) \( v_1 = 2 \, \text{м/с} \) \( v_2 = -5 \, \text{м/с} \) (движутся навстречу) Найти: \( u_1 - ? \), \( u_2 - ? \) Решение: Для абсолютно упругого удара скорости тел после столкновения: \[ u_1 = \frac{(m_1 - m_2) \cdot v_1 + 2 \cdot m_2 \cdot v_2}{m_1 + m_2} \] \[ u_2 = \frac{(m_2 - m_1) \cdot v_2 + 2 \cdot m_1 \cdot v_1}{m_1 + m_2} \] Подставим значения: \[ u_1 = \frac{(0,4 - 0,1) \cdot 2 + 2 \cdot 0,1 \cdot (-5)}{0,4 + 0,1} = \frac{0,6 - 1}{0,5} = \frac{-0,4}{0,5} = -0,8 \, \text{м/с} \] \[ u_2 = \frac{(0,1 - 0,4) \cdot (-5) + 2 \cdot 0,4 \cdot 2}{0,4 + 0,1} = \frac{1,5 + 1,6}{0,5} = \frac{3,1}{0,5} = 6,2 \, \text{м/с} \] Ответ: \( u_1 = -0,8 \, \text{м/с} \); \( u_2 = 6,2 \, \text{м/с} \).