Решение задач 1 и 2 (II вариант)

II вариант Задание 1. Напишите уравнение касательной к графику функции \(y = f(x)\) в точке графика с абсциссой \(x_0\). Общее уравнение касательной имеет вид: \[y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\] а) \(f(x) = x^2 + 6x - 7\), \(x_0 = -2\) 1. Найдем значение функции в точке \(x_0\): \(f(-2) = (-2)^2 + 6 \cdot (-2) - 7 = 4 - 12 - 7 = -15\) 2. Найдем производную функции: \(f'(x) = (x^2 + 6x - 7)' = 2x + 6\) 3. Найдем значение производной в точке \(x_0\): \(f'(-2) = 2 \cdot (-2) + 6 = -4 + 6 = 2\) 4. Составим уравнение касательной: \(y = -15 + 2(x - (-2))\) \(y = -15 + 2(x + 2)\) \(y = -15 + 2x + 4\) \(y = 2x - 11\) Ответ: \(y = 2x - 11\) б) \(f(x) = \log_3 x\), \(x_0 = 1\) 1. Найдем значение функции: \(f(1) = \log_3 1 = 0\) 2. Найдем производную: \(f'(x) = (\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}\) 3. Найдем значение производной в точке \(x_0\): \(f'(1) = \frac{1}{1 \cdot \ln 3} = \frac{1}{\ln 3}\) 4. Составим уравнение касательной: \(y = 0 + \frac{1}{\ln 3}(x - 1)\) \(y = \frac{x - 1}{\ln 3}\) Ответ: \(y = \frac{x - 1}{\ln 3}\) в) \(f(x) = e^x\), \(x_0 = 2\) 1. Найдем значение функции: \(f(2) = e^2\) 2. Найдем производную: \(f'(x) = (e^x)' = e^x\) 3. Найдем значение производной в точке \(x_0\): \(f'(2) = e^2\) 4. Составим уравнение касательной: \(y = e^2 + e^2(x - 2)\) \(y = e^2 + e^2 x - 2e^2\) \(y = e^2 x - e^2\) Ответ: \(y = e^2 x - e^2\) Задание 2. Дана функция \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 3x + 5\). Напишите уравнение касательной к графику функции \(y = f(x)\), параллельной прямой \(y = -3x + 4\). 1. Условие параллельности прямых означает равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент данной прямой \(k = -3\). Значит, нам нужно найти такие точки \(x_0\), в которых \(f'(x_0) = -3\). 2. Найдем производную функции: \(f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 3x + 5)' = 3x^2 - 6x - 3\) 3. Приравняем производную к \(-3\): \(3x^2 - 6x - 3 = -3\) \(3x^2 - 6x = 0\) \(3x(x - 2) = 0\) Отсюда получаем две точки: \(x_{01} = 0\) и \(x_{02} = 2\). 4. Составим уравнение касательной для \(x_0 = 0\): \(f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 + 5 = 5\) \(f'(0) = -3\) \(y = 5 - 3(x - 0)\) \(y = -3x + 5\) 5. Составим уравнение касательной для \(x_0 = 2\): \(f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 + 5 = 8 - 12 - 6 + 5 = -5\) \(f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 - 3 = 12 - 12 - 3 = -3\) \(y = -5 - 3(x - 2)\) \(y = -5 - 3x + 6\) \(y = -3x + 1\) Ответ: \(y = -3x + 5\) и \(y = -3x + 1\)