Решение: cos 135°, sin 8π/3, tg 7π/3

Задание 2. Найти значение выражения. 1) \(\cos 135^\circ\) Для решения воспользуемся формулой приведения: \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha\). \[\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\] Ответ: \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\). 2) \(\sin \frac{8\pi}{3}\) Выделим целую часть из аргумента, учитывая период синуса \(2\pi\): \[\sin \frac{8\pi}{3} = \sin \left( 2\pi + \frac{2\pi}{3} \right) = \sin \frac{2\pi}{3}\] Далее используем формулу приведения \(\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha\): \[\sin \frac{2\pi}{3} = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). 3) \(\text{tg} \frac{7\pi}{3}\) Выделим целую часть, учитывая период тангенса \(\pi\): \[\text{tg} \frac{7\pi}{3} = \text{tg} \left( 2\pi + \frac{\pi}{3} \right) = \text{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\] Ответ: \(\sqrt{3}\). 4) \(\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8}\) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos(2\alpha)\). В нашем случае \(\alpha = \frac{\pi}{8}\): \[\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8} = \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{8} \right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).