Решение задачи 724: Нахождение корней уравнения sin x на отрезке [0; 3π]

Задание №724. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π]. 1) \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) Общее решение уравнения: \[x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}\] \[x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\] Найдем корни на отрезке \([0; 3\pi]\): При \(k = 0\): \(x_1 = \frac{\pi}{3}\) (входит в отрезок) При \(k = 1\): \(x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\) (входит в отрезок) При \(k = 2\): \(x_3 = 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}\) (входит в отрезок) При \(k = 3\): \(x_4 = 3\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}\) (входит в отрезок) Ответ: \(\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}\). 2) \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) Общее решение: \[x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\] Найдем корни на отрезке \([0; 3\pi]\): При \(k = 0\): \(x_1 = \frac{\pi}{4}\) При \(k = 1\): \(x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\) При \(k = 2\): \(x_3 = 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}\) При \(k = 3\): \(x_4 = 3\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{4}\) Ответ: \(\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}; \frac{11\pi}{4}\). 3) \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) Общее решение: \[x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}\] Найдем корни на отрезке \([0; 3\pi]\): При \(k = 0\): \(x = -\frac{\pi}{4}\) (не входит) При \(k = 1\): \(x_1 = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}\) (входит) При \(k = 2\): \(x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}\) (входит) При \(k = 3\): \(x_3 = 3\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{13\pi}{4}\) (не входит, так как \(\frac{13\pi}{4} > 3\pi\)) Ответ: \(\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}\). 4) \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) Общее решение: \[x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}\] Найдем корни на отрезке \([0; 3\pi]\): При \(k = 0\): \(x = -\frac{\pi}{3}\) (не входит) При \(k = 1\): \(x_1 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}\) (входит) При \(k = 2\): \(x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}\) (входит) При \(k = 3\): \(x_3 = 3\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{10\pi}{3}\) (не входит) Ответ: \(\frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}\).