Задача 557: Упростить выражение (cos β / sin α + sin β / cos α) * (1 - cos 4α) / cos (π - β + α)

Задание 557. Упростить выражение: \[ \left( \frac{\cos \beta}{\sin \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \alpha} \right) \cdot \frac{1 - \cos 4\alpha}{\cos (\pi - \beta + \alpha)} \] Решение: 1) Преобразуем выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю: \[ \frac{\cos \beta}{\sin \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \alpha} = \frac{\cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} \] Используем формулу косинуса разности \( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) \): \[ \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin \alpha \cos \alpha} \] 2) Преобразуем числитель второй дроби, используя формулу понижения степени \( 1 - \cos 2x = 2\sin^2 x \). В нашем случае \( 2x = 4\alpha \), значит \( x = 2\alpha \): \[ 1 - \cos 4\alpha = 2\sin^2 2\alpha \] Разложим синус двойного угла \( \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \): \[ 2\sin^2 2\alpha = 2(2\sin \alpha \cos \alpha)^2 = 2 \cdot 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 8 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \] 3) Преобразуем знаменатель второй дроби по формуле приведения \( \cos(\pi - x) = -\cos x \). Пусть \( x = \beta - \alpha \): \[ \cos (\pi - (\beta - \alpha)) = -\cos(\beta - \alpha) \] Так как косинус — функция четная, \( \cos(\beta - \alpha) = \cos(\alpha - \beta) \). Получаем: \[ -\cos(\alpha - \beta) \] 4) Соберем всё выражение целиком: \[ \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin \alpha \cos \alpha} \cdot \frac{8 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{-\cos(\alpha - \beta)} \] 5) Сократим дробь: - Сокращаем \( \cos(\alpha - \beta) \) в числителе и знаменателе. - Сокращаем \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \) в знаменателе первой дроби с квадратами в числителе второй дроби. Остается: \[ \frac{1}{1} \cdot \frac{8 \sin \alpha \cos \alpha}{-1} = -8 \sin \alpha \cos \alpha \] 6) Применим формулу синуса двойного угла \( 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha \): \[ -4 \cdot (2 \sin \alpha \cos \alpha) = -4 \sin 2\alpha \] Ответ: \( -4 \sin 2\alpha \).