Решение: Вычисление интегралов. Площадь криволинейной трапеции. Вариант 3

Самостоятельная работа: Вычисление интегралов. Нахождение площади криволинейной трапеции. Вариант 3. Задание 1. Вычислите неопределенные интегралы. а) \(\int (5x^{3/2} - 7x^{3/4}) dx\) Для решения используем свойство линейности интеграла и табличную формулу \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\). \[\int (5x^{3/2} - 7x^{3/4}) dx = 5 \cdot \frac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} - 7 \cdot \frac{x^{3/4 + 1}}{3/4 + 1} + C = 5 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} - 7 \cdot \frac{x^{7/4}}{7/4} + C =\] \[= 5 \cdot \frac{2}{5}x^{5/2} - 7 \cdot \frac{4}{7}x^{7/4} + C = 2x^{5/2} - 4x^{7/4} + C\] б) \(\int \frac{x^2 \cdot 2^x + 3x^3 + 7x}{x^2} dx\) Разделим каждое слагаемое числителя на знаменатель: \[\int (\frac{x^2 \cdot 2^x}{x^2} + \frac{3x^3}{x^2} + \frac{7x}{x^2}) dx = \int (2^x + 3x + \frac{7}{x}) dx\] Интегрируем каждое слагаемое по отдельности: \[\int 2^x dx + 3\int x dx + 7\int \frac{1}{x} dx = \frac{2^x}{\ln 2} + \frac{3x^2}{2} + 7\ln|x| + C\] Задание 2. Вычислите определенные интегралы. а) \(\int_{-1}^{3} (4x^3 - 6x^2 - 4x + 3) dx\) Применим формулу Ньютона-Лейбница: \[\int_{-1}^{3} (4x^3 - 6x^2 - 4x + 3) dx = [x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 3x]_{-1}^{3} =\] \[= (3^4 - 2 \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3) - ((-1)^4 - 2 \cdot (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 + 3 \cdot (-1)) =\] \[= (81 - 54 - 18 + 9) - (1 + 2 - 2 - 3) = 18 - (-2) = 18 + 2 = 20\] б) \(\int_{1}^{8} (x^3 - \sqrt[3]{x^2}) dx = \int_{1}^{8} (x^3 - x^{2/3}) dx\) \[[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^{2/3 + 1}}{2/3 + 1} ]_{1}^{8} = [ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^{5/3}}{5} ]_{1}^{8} =\] \[= (\frac{8^4}{4} - \frac{3 \cdot 8^{5/3}}{5}) - (\frac{1^4}{4} - \frac{3 \cdot 1^{5/3}}{5}) = (\frac{4096}{4} - \frac{3 \cdot 32}{5}) - (\frac{1}{4} - \frac{3}{5}) =\] \[= (1024 - 19,2) - (0,25 - 0,6) = 1004,8 - (-0,35) = 1004,8 + 0,35 = 1005,15\] Задание 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x^3\), \(y = 0\), \(x = -2\) и \(x = 2\). Фигура состоит из двух симметричных частей относительно начала координат. Так как на промежутке \([-2; 0]\) функция отрицательна, а на \([0; 2]\) положительна, площадь вычисляется как сумма модулей интегралов: \[S = \int_{-2}^{0} |x^3| dx + \int_{0}^{2} x^3 dx = |\int_{-2}^{0} x^3 dx| + \int_{0}^{2} x^3 dx\] \[\int x^3 dx = \frac{x^4}{4}\] \[S = |[\frac{x^4}{4}]_{-2}^{0}| + [\frac{x^4}{4}]_{0}^{2} = |0 - \frac{(-2)^4}{4}| + (\frac{2^4}{4} - 0) = |-\frac{16}{4}| + \frac{16}{4} = 4 + 4 = 8\] Ответ: 8 кв. ед. Задание 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x + 2\) и \(y = 4 - x^2\). Сначала найдем точки пересечения графиков: \[4 - x^2 = x + 2 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0\] По теореме Виета: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\). На интервале \([-2; 1]\) парабола \(y = 4 - x^2\) находится выше прямой \(y = x + 2\). \[S = \int_{-2}^{1} ((4 - x^2) - (x + 2)) dx = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) dx =\] \[= [2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{-2}^{1} = (2(1) - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}) - (2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3}) =\] \[= (2 - 0,5 - 1/3) - (-4 - 2 + 8/3) = (1,5 - 1/3) - (-6 + 2 \frac{2}{3}) =\] \[= 1 \frac{1}{6} - (-3 \frac{1}{3}) = 1 \frac{1}{6} + 3 \frac{2}{6} = 4 \frac{3}{6} = 4,5\] Ответ: 4,5 кв. ед.