Решение задач по геометрии и векторам

Ниже представлены решения задач с фотографий, оформленные для записи в тетрадь. Задание 1 Дано: Четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность, \(\angle ABC = 103^\circ\), \(\angle CAD = 42^\circ\). Найти: \(\angle ABD\). Решение: 1) Углы \(\angle CAD\) и \(\angle CBD\) являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу \(CD\). Следовательно, они равны: \[\angle CBD = \angle CAD = 42^\circ\] 2) Угол \(\angle ABC\) состоит из суммы углов \(\angle ABD\) и \(\angle CBD\): \[\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD\] 3) Отсюда находим искомый угол: \[\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 103^\circ - 42^\circ = 61^\circ\] Ответ: 61. Задание 2 Дано: \(\vec{a}(5; 30)\), \(\vec{b}(4; -6)\). Найти: скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\). Решение: Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b\] Подставим значения: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 4 + 30 \cdot (-6) = 20 - 180 = -160\] Ответ: -160. Задание 3 Дано: Объем исходной призмы \(V_1 = 52\). Плоскость проходит через среднюю линию основания. Найти: Объем отсеченной призмы \(V_2\). Решение: 1) Площадь основания отсеченной призмы \(S_2\) (треугольник, образованный средней линией) относится к площади основания исходной призмы \(S_1\) как квадрат коэффициента подобия. Так как средняя линия в 2 раза меньше стороны, то: \[S_2 = \frac{1}{4} S_1\] 2) Высота \(h\) у обеих призм одинаковая. 3) Объем призмы равен \(V = S \cdot h\). Тогда: \[V_2 = S_2 \cdot h = \frac{1}{4} S_1 \cdot h = \frac{1}{4} V_1\] \[V_2 = \frac{52}{4} = 13\] Ответ: 13. Задание 4 Решение: Всего спортсменов: \(25\). Из Испании: \(10\). Вероятность того, что одиннадцатым будет выступать спортсмен из Испании, равна отношению количества испанских спортсменов к общему числу участников (так как порядок определяется жребием и место в очереди не влияет на вероятность): \[P = \frac{10}{25} = \frac{4}{10} = 0,4\] Ответ: 0,4. Задание 6 Решение: \[\log_3 (x + 4) = \log_3 16\] Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы: \[x + 4 = 16\] \[x = 16 - 4\] \[x = 12\] Ответ: 12. Задание 7 Решение: \[2\sqrt{2} \text{tg} \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{4}\] Значения тригонометрических функций: \(\text{tg} \frac{\pi}{4} = 1\), \(\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставляем: \[2\sqrt{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2\] Ответ: 2. Задание 8 Решение: Значение производной в точке \(x_0\) равно тангенсу угла наклона касательной или коэффициенту \(k\) в уравнении прямой \(y = kx + b\). Выберем две точки на касательной, которые попадают в узлы сетки: \((-3; 3)\) и \((1; 0)\). \[f'(x_0) = k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 3}{1 - (-3)} = \frac{-3}{4} = -0,75\] Ответ: -0,75. Задание 12 Найти точку минимума функции \(y = x^{\frac{3}{2}} - 18x + 29\). Решение: 1) Найдем производную: \[y' = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 18 = \frac{3}{2} \sqrt{x} - 18\] 2) Приравняем производную к нулю: \[\frac{3}{2} \sqrt{x} = 18\] \[\sqrt{x} = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12\] \[x = 12^2 = 144\] Ответ: 144.