Решение контрольной работы: Производная функции

Контрольная работа «Производная. Применение производной к исследованию функций» Вариант 1 Задание 1. Найдите производную функции: а) \( y = 3x + 2 \) \[ y' = (3x + 2)' = 3 \] б) \( y = -\frac{3}{x} \) \[ y' = \left( -3 \cdot x^{-1} \right)' = -3 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = \frac{3}{x^2} \] в) \( y = x^2 (3x + x^3) \) Сначала раскроем скобки: \( y = 3x^3 + x^5 \) \[ y' = (3x^3 + x^5)' = 9x^2 + 5x^4 \] г) \( y = \frac{3x - 2}{5x + 8} \) Используем формулу производной частного \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \): \[ y' = \frac{(3x - 2)'(5x + 8) - (3x - 2)(5x + 8)'}{(5x + 8)^2} = \frac{3(5x + 8) - 5(3x - 2)}{(5x + 8)^2} = \frac{15x + 24 - 15x + 10}{(5x + 8)^2} = \frac{34}{(5x + 8)^2} \] д) \( y = 2\cos x - 4\sqrt{x} \) \[ y' = (2\cos x - 4\sqrt{x})' = -2\sin x - 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -2\sin x - \frac{2}{\sqrt{x}} \] Задание 2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции \( y = 12x - 2x^3 \). 1. Найдем производную: \[ y' = 12 - 6x^2 \] 2. Найдем критические точки (\( y' = 0 \)): \[ 12 - 6x^2 = 0 \Rightarrow 6x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2} \] 3. Определим знаки производной на интервалах: — На \( (-\infty; -\sqrt{2}) \): \( y'(-2) = 12 - 24 < 0 \) (убывает) — На \( (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) \): \( y'(0) = 12 > 0 \) (возрастает) — На \( (\sqrt{2}; +\infty) \): \( y'(2) = 12 - 24 < 0 \) (убывает) Ответ: возрастает на \( [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \), убывает на \( (-\infty; -\sqrt{2}] \) и \( [\sqrt{2}; +\infty) \). Задание 3. Найдите точки экстремумов и их значения функции \( y = 8x^2 - \frac{x^4}{4} \). 1. Производная: \[ y' = 16x - x^3 = x(16 - x^2) = x(4 - x)(4 + x) \] 2. Критические точки: \( x_1 = 0, x_2 = 4, x_3 = -4 \). 3. Определим характер точек: — При переходе через \( x = -4 \) знак \( y' \) меняется с \( + \) на \( - \) (максимум). — При переходе через \( x = 0 \) знак \( y' \) меняется с \( - \) на \( + \) (минимум). — При переходе через \( x = 4 \) знак \( y' \) меняется с \( + \) на \( - \) (максимум). 4. Значения: \[ y(-4) = 8(-4)^2 - \frac{(-4)^4}{4} = 128 - 64 = 64 \] \[ y(0) = 0 \] \[ y(4) = 8(4)^2 - \frac{4^4}{4} = 128 - 64 = 64 \] Ответ: \( x_{max} = \pm 4, y_{max} = 64 \); \( x_{min} = 0, y_{min} = 0 \). Задание 4. Исследуйте функцию \( y = 6x - 2x^3 \) и постройте график. 1. \( D(y) = \mathbb{R} \). Функция нечетная (\( y(-x) = -y(x) \)), график симметричен относительно начала координат. 2. Нули: \( 2x(3 - x^2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1,7 \). 3. Производная: \( y' = 6 - 6x^2 = 6(1 - x)(1 + x) \). 4. Экстремумы: \( x = \pm 1 \). \( y(-1) = -6 + 2 = -4 \) (минимум). \( y(1) = 6 - 2 = 4 \) (максимум). 5. График проходит через точки \( (-1,7; 0), (-1; -4), (0; 0), (1; 4), (1,7; 0) \). Задание 5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \( y = x^3 - 2x^2 + x + 3 \) на отрезке \( [-1; 2] \). 1. Производная: \( y' = 3x^2 - 4x + 1 \). 2. Критические точки: \( 3x^2 - 4x + 1 = 0 \). \( D = 16 - 12 = 4 \). \[ x_1 = \frac{4+2}{6} = 1; \quad x_2 = \frac{4-2}{6} = \frac{1}{3} \] Обе точки лежат в интервале \( [-1; 2] \). 3. Вычислим значения в точках и на концах: \[ y(-1) = -1 - 2 - 1 + 3 = -1 \] \[ y(1/3) = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1 - 6 + 9 + 81}{27} = \frac{85}{27} \approx 3,15 \] \[ y(1) = 1 - 2 + 1 + 3 = 3 \] \[ y(2) = 8 - 8 + 2 + 3 = 5 \] Ответ: \( \max_{[-1;2]} y = 5 \); \( \min_{[-1;2]} y = -1 \).